3 機(jī)構(gòu)受力分析
3.1 過約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)
運(yùn)動(dòng)構(gòu)件滿足靜定條件時(shí)，可按剛體力學(xué)原理進(jìn)行分析。當(dāng)機(jī)構(gòu)中存在虛約束時(shí)，運(yùn)動(dòng)鏈不再滿足靜定條件，機(jī)構(gòu)的受力分析無法由剛體力學(xué)的方法完全確定，這種機(jī)構(gòu)稱為靜不定的約束機(jī)構(gòu)，過約束機(jī)構(gòu)的計(jì)算自由度小于實(shí)際自由度。
對于連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，為了克服機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的不確定點(diǎn)，一般采用多相并列雙曲柄平行四力形機(jī)構(gòu)或多曲柄平行四邊形機(jī)構(gòu)作為輸入機(jī)構(gòu)，因此，它是多次靜不定的過約束機(jī)構(gòu)。要完全確定機(jī)構(gòu)的約束反力，必須尋求與其靜不定次數(shù)相同數(shù)目的位移協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程。過約束機(jī)構(gòu)的靜不定次數(shù)與運(yùn)動(dòng)構(gòu)件數(shù)、運(yùn)動(dòng)副類型及其數(shù)量等有關(guān)。對于少齒差連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，由于輪齒的分擔(dān)載荷大小與嚙合數(shù)有關(guān)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)轉(zhuǎn)工況角以及構(gòu)件的變形情況等因素有關(guān)，所以運(yùn)動(dòng)副數(shù)目也隨之變化^{[34，35，29]}。

對于一個(gè)任意的空間機(jī)構(gòu)，如果有n個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件，就能列出6n個(gè)動(dòng)力分析方程，即可以求解確定6n個(gè)未知數(shù)。未知量的數(shù)量可以由以下兩部分確定：即運(yùn)動(dòng)副中的約束反力未知分量與反力矩未知分量數(shù)，作用在輸入構(gòu)件上的輸入力矩或輸入力偶。一個(gè)運(yùn)動(dòng)副如沿某軸線有相對移動(dòng)自由度，則沿該軸線的約束軸線的約束反力矩為零。因此，當(dāng)一動(dòng)動(dòng)副的級別為K時(shí)，其約束反力的分量數(shù)為Pk，設(shè)每一輸入構(gòu)件上存在力或力偶，則輸入構(gòu)件上的未知力數(shù)為q，則未知量總數(shù)為：

當(dāng)機(jī)構(gòu)是靜定系統(tǒng)時(shí)，未知量的總數(shù)應(yīng)與基本方程式數(shù)目相等，即：

式（3-2）是機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算公式。

當(dāng)機(jī)構(gòu)為過約束機(jī)構(gòu)時(shí)，未知量的總數(shù)大于基本方程式數(shù)目相等，即：

將上式變?yōu)椋?/p>

式（3-3）的左邊為所有構(gòu)件及運(yùn)動(dòng)副的計(jì)算自由度，右邊q為實(shí)際自由度。設(shè)過約束機(jī)構(gòu)的靜不定閃數(shù)為S，由式（3-2）可得：

由此可知，當(dāng)S=0時(shí)為靜定機(jī)構(gòu)，當(dāng)S＞0時(shí)為靜不定機(jī)構(gòu)。

平面過約束機(jī)構(gòu)得靜不定次數(shù)可表示為：

式中P為低副數(shù)，t為高副數(shù)。
若一個(gè)多相多曲柄并列連桿行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有m根高速軸，n片行星齒扳，第i片行星齒板與輸出外齒輪參加接觸承載得齒對數(shù)為Z（i），則由工（3-4）求得其靜不定次數(shù)為：

當(dāng)m=2時(shí)，得多相并列雙軸式得連桿行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)得靜不定次數(shù)

3.2 單個(gè)構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理

設(shè)一構(gòu)件ab在外力的作用下產(chǎn)生微小位移（包含剛體位移和彈性變形位移），如圖3.1所示。ab長為L，與水平坐標(biāo)軸的夾角為θ₀，構(gòu)件上a、b兩點(diǎn)在受力后變位到a′，b′。作輔助線使：

由上圖可得：

式中

圖3.1 構(gòu)件變形位移關(guān)系

故：

式中：

用u、v分別表示點(diǎn)x、y方向的位 坐標(biāo)分量，則式（3-5）寫成坐標(biāo)分量得：

由于構(gòu)件得位移及變形很小，可取

所以

式中u_b，v_b是構(gòu)件上b點(diǎn)的位移；

u_α，v_α是構(gòu)件上α點(diǎn)的位移；

u_bα，v_bα是構(gòu)件兩點(diǎn)α、b的相對變形位移；

θ是構(gòu)件上b點(diǎn)饒基點(diǎn)α的微小角位移。

式（3-6）是構(gòu)件上任意兩點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)方程，其特理意義是：構(gòu)件在外力作用下，產(chǎn)生微小剛體位移和彈性變形位移時(shí)，其上某點(diǎn)的位移是所選參考點(diǎn)的位移與該點(diǎn)饒參考點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移以及相對變形位移的合位移。

連桿上接觸點(diǎn)b處受到的作用力Nx,Ny與接觸點(diǎn)處的彈性變形量成正比，方向與變形方向相同，故

式中k：接觸剛度系數(shù)

對于平行四邊形雙曲柄連桿機(jī)構(gòu)，在外力的作用下，連桿B、C相對其理論位置產(chǎn)生一個(gè)微小位移，且在兩端較鏈點(diǎn)B、C的接觸處產(chǎn)生彈性變形。了B點(diǎn)為參考點(diǎn)，根據(jù)變形真調(diào)方程，在接觸點(diǎn)C的變形量可表達(dá)如下：

上式中，（x_b，y_b）是B處的位移量，θ為連桿繞鉸點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移，β為接觸點(diǎn)C在從動(dòng)曲柄軸上繞軸線(D)的轉(zhuǎn)角位移，L為連桿的長度，見圖3.2。

圖3.2 連桿接觸點(diǎn)的變形關(guān)系

連桿上兩端的作用反力與接觸點(diǎn)處的彈性變形量成正比，因此可表達(dá)為：

式中（N_bx，N_by)、(N_cx，N_cy):連桿兩端B、C的作用反力沿x軸、y軸的分量。

3.3 多相并列雙曲柄機(jī)構(gòu)動(dòng)力分析模型
3.3.1 忽略質(zhì)量時(shí)受力數(shù)學(xué)模型

圖3.3是一多相并列雙曲柄機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖，曲柄軸為輸入軸，其上作用有已知外力F₁和未知輸入力矩T₁，曲柄軸為支撐軸，其上的外力知T2和外力F₂以及作用在連桿B₁C₁上的合外力F_n1，外力矩M₁都是已知的，在任一時(shí)刻t，連桿A₁B₁與XOZ平面的夾角為φ₁，運(yùn)用機(jī)構(gòu)靜態(tài)力學(xué)分析方法^{[22、29、30、34]}，對連桿B₁C₁可列出受力平衡方程：

共可列出3n 個(gè)方程。

圖3.3 多相并列雙曲柄機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

而兩曲柄軸上的力系為空間力系，其平衡方程為：

共可列出10個(gè)方程，聯(lián)立式（3-10）或（3-11），對于多相并列雙曲柄結(jié)構(gòu)，用一般靜態(tài)力學(xué)分析方法，可列出3n+10個(gè)方程，而未知量的總數(shù)為4n+9（運(yùn)動(dòng)副反力和輸入力矩），故機(jī)構(gòu)中未知量，（n-1）正是機(jī)構(gòu)中的虛約束個(gè)數(shù)，為了得到補(bǔ)充方程，必須考慮構(gòu)件的變形協(xié)調(diào)要求。

根據(jù)公式（3-9），每個(gè)環(huán)板可建立4個(gè)方程，那么n個(gè)環(huán)板可建立的方程總數(shù)為4n，式中位移量x_bi,y_bi,θ_i和β都是未知量，其總數(shù)為3n+1，故能提供的補(bǔ)充方程數(shù)為4n+3n-1=n-1個(gè)，同機(jī)構(gòu)所包含的虛約束個(gè)數(shù)相等，聯(lián)立式（3-10）、（3-11）、（3-9）可解得全部未知量。為了簡化計(jì)算過程，可以利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中求解靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)不，即把式（3-9）代入式（3-10）中，得到以連桿參數(shù)點(diǎn)位移x_bi,y_bi,θ_i和曲柄位移β為未知量的3n個(gè)方程，再由式（3-11）得到位移變形量B_xi，B_yi,θ_i, β為未知量的3n+1個(gè)方程，并從中解得各位移變量，然后代入式（3-11）、（3-9）中可求得機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副反力及力矩。

把一個(gè)三相并列雙曲柄機(jī)構(gòu)作為一般情況進(jìn)行受力分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后分四種狀況進(jìn)行計(jì)算。圖3.4是基本型（低速軸在中間，高速軸兩側(cè)布置）環(huán)板受力情況，左邊的高速軸為輸入軸，輸入力知M，輸入轉(zhuǎn)速為n,中間帶外擺線輪的為輸出軸，右邊的高速軸為中間軸（支撐軸），在齒板上以左邊軸承孔中心B₁為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系0-XYZ，輸入曲軸A₁B₁與X軸的夾角為φ。

在這里擺線針輪輪齒的受力情況作一個(gè)簡化。因輪齒上受到的力均通過擺線輪的節(jié)圓上的一點(diǎn)，故可能所有輪齒受到的力簡化成為一個(gè)合力，與擺線輪齒運(yùn)動(dòng)方向的夾角為α′（即嚙合角）。見圖3.4。

圖3.4 連桿內(nèi)齒輪的受力圖

作用在輸出軸擺線輪上的嚙合力

式中：T——擺線輪上的扭矩（N·m）
r′_c——擺線輪節(jié)圓半徑（mm）
α′——嚙合角
P——輸入軸輸入功率（W）

n——輸入軸轉(zhuǎn)速（rpm）

t：環(huán)板參與嚙合時(shí)的數(shù)量

由前面的分析可知，對A₁B₁C₁D₁雙曲柄連桿機(jī)構(gòu)，其平衡方程為：

式中：e——曲柄A1B1的長度。

如有多快環(huán)板，第二塊與第一塊的相位差為△φ₂，則有：

第三塊與第一塊的相位差為△φ₃

故齒板受力平衡方程：

式中：r_p′——針輪節(jié)圓半徑。

那么中間軸的繞Z軸的力矩平平方程可寫為：

e(Ny₁cosφ+Ny₂cos(φ+△φ₂)+Ny₃cos(φ+△φ₃)-Nx₁sinφ-Nx₂sin(φ+△φ₂)-Nx₃sin(φ+△φ₃) (3-20)

將工（3-15）～（3-20）代入式（3-19）～（3-20）可得到如下線性方程組：

[DIX]=[B] （3-21）

式中，[D]為系數(shù)矩陣：

式中：φ₁=φ；φ₂=φ+△φ₂；φ₃=φ+△φ₃。

[X]為變量陣：

[X]=[x_b1 y_b1 θ₁ x_b2 y_b2 θ₂ x_b3 y_b3 θ₃ β]^T

[B]為常數(shù)列陣：

圖3.5是輸入軸和支撐軸（中間軸）的受力圖，不計(jì)自重及慣性力時(shí)，可得到高速軸的受力平衡方程。

圖3.5 系統(tǒng)的受力圖

輸入軸：

中間軸：

式中，d：環(huán)板與環(huán)板間的水平距離；

s：環(huán)板與箱體技撐軸承的水平距離；

p_x1，q_x1：主動(dòng)高速軸支撐軸承的水平受力；

p_x2，q_x2：從動(dòng)高速軸支撐軸承的水平受力。

3.3.2 考慮質(zhì)量時(shí)受力數(shù)學(xué)模型

在常規(guī)情況L1=L2時(shí)，考慮質(zhì)量時(shí)，力學(xué)模型中多了重力和慣性力，其數(shù)學(xué)模型可將式（3-19）改變?yōu)槭剑?-24），即：

當(dāng)對兩相平行軸擺線針輪減速器求解時(shí)，△φ₂=180，第三塊環(huán)板因每輸出扭矩，其相應(yīng)的Fn=0；而對三相平行軸擺線針輪減速器，△φ₂=120，△φ₃=240。

3.4 不同結(jié)構(gòu)平行軸擺線針輪減速器的受力分析
在不作特殊說明時(shí)，以下的受力分析是基于給定的條件：要率p=15kw，輸入轉(zhuǎn)速n=1500rpm，速比i=17，偏心距e=5,嚙合角α=30°。
3.4.1連桿式兩相平行軸擺線針輪減速器的受力分析
1）環(huán)板行星軸承的載荷情況
圖3.6、圖3.7給出了輸入軸、從動(dòng)軸環(huán)板行星與連桿軸承的載荷在一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)變化情況，其最大載荷及相應(yīng)的位置見表3.1。
表3.1 環(huán)板行星與連桿軸承的最大載荷與位置

	沿x軸分力（N）		沿y軸分力（N）		合力（N）
	最大值	位置（°）	最大值	位置（°）	最大值	位置（°）
輸入軸上環(huán)板1 軸承的受力F1	10248.4	117	7968.58	30	10882	93
輸入軸上環(huán)板2 軸承的受力F2	10248.4	297	7968.58	210	10882	273
輸入軸上連桿軸 承的受力F3	9549	180	0		9549	180
從動(dòng)軸上上環(huán)板 1軸承的受力N1	3908.88	204	7968.58	210	8857.88	206
從動(dòng)軸上上環(huán)板 2軸承的受力N2	3908.88	24	7968.58	30	8857.88	26
從動(dòng)軸上連桿軸 承的受力N3	9549	180，0	0		9549	180，0

由表3.1可知，環(huán)板1與環(huán)板2上軸承的載荷 呈正弦分布，不論輸入軸還是從動(dòng)員，峰值的位置相差180°（即297-117，273-93，204-24，206-26），與它們在結(jié)構(gòu)上的相位差相吻合；從動(dòng)軸上連桿軸承的受力也呈正弦變化，在φ=180k(k=0,1,2...)時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí)，正是環(huán)板1與環(huán)板2處于死點(diǎn)的位置，通過連桿使機(jī)構(gòu)連續(xù)旋轉(zhuǎn)。輸入軸軸承上載荷峰值比從動(dòng)軸的值大，連桿軸承的載荷介于兩者之間。

2）箱體軸承的載荷情況
圖3.8、3.9給出了輸入軸、從動(dòng)軸與箱體相聯(lián)軸承的載荷在一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)變化情況，其最大載荷及相應(yīng)的位置見表3.2。
表3.2 箱體軸承的最大載荷與位置

由圖3.8、圖3.9及表3.2可知，靠近聯(lián)軸器側(cè)的箱體軸承的載荷比另一側(cè)的大，輸入軸的箱體軸承的受力比從動(dòng)軸的箱體軸承的大近50%。

3）嚙合角對軸承載荷的影響
見圖3.10與3.12。隨著嚙合角的增大，環(huán)板行星軸承的載荷增大，因此擺線針輪嚙合力的合矢角度不誼太大（小于40°）；但嚙合角的變化對連桿軸承的載荷的影響甚小。
4）仿主距對軸承載荷的影響

見圖3.11與圖3.13。隨著偏心距增大，環(huán)板行星軸承的載荷和連桿軸承的載荷幾乎成線性減少，因此不受體積限制時(shí)，應(yīng)尺可能增加偏心距。

5）連桿機(jī)構(gòu)中曲柄相位角對軸承載荷的影響

見圖3.14、圖3.15及圖3.6。隨著連桿機(jī)構(gòu)中曲柄相位角增大，環(huán)板行星軸承的載荷和連桿軸承的載荷呈下降的趨勢，但環(huán)板行星軸承沿y矢的載荷基本不受影響；大約在小于45°范圍時(shí)，連桿軸承的載荷大于環(huán)板行星軸承的載荷，否則相反。因此取連桿機(jī)構(gòu)曲柄與環(huán)板曲柄機(jī)構(gòu)的曲柄相位差為90°最佳。

3.3.2 皮帶輪式兩相平行軸擺線針輪減速器的受力分析

所謂皮帶輪式兩相平行軸擺線針輪減速器，是指上屬的連桿機(jī)構(gòu)由齒形皮帶傳動(dòng)取代。圖3.17給出了輸入軸環(huán)板行星與皮帶輪軸承的載荷在一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)變化情況，其最大載荷及相應(yīng)的位置見表3.3。由表3.3可知，環(huán)板上軸承的載荷以2π為周期進(jìn)行變化，載荷峰值的位置相差180°（即288-108，271-91，360-180，206-26），與它們在結(jié)構(gòu)上的相位差相吻合；皮帶輪上的受力以π/2為周期進(jìn)行變化，最大值所在位置介于環(huán)板上軸承的載荷的最大與最小時(shí)的相位之間，不是位于φ=180k（k=0，1，2...）。輸入軸軸承上載荷峰值比從動(dòng)軸的大，皮帶輪上軸承的載荷介于兩者之間。

表3.3 環(huán)板行星與連桿軸承的最大載荷與位置

	沿x軸分力（N）		沿y軸分力（N）		合力（N）
	最大值	位置（°）	最大值	位置（°）	最大值	位置（°）
輸入軸上環(huán)板1 軸承的受力F1	9938.90	288	3057.66	32	10880.06	271
輸入軸上環(huán)板2 軸承的受力F2	9938.90	108	3057.66	212	10880.06	91
輸入軸上連桿軸 承的受力F3	7594.93	146	0		7594.93	56
從動(dòng)軸上上環(huán)板 1軸承的受力N1	2756.56	360	7968.58	32	8332.03	26
從動(dòng)軸上上環(huán)板 2軸承的受力N2	2756.56	180	7968.58	210	8332.03	206
從動(dòng)軸上連桿軸 承的受力N3	7594.93	146	0		7594.93	56

表3.4 箱體軸承的最大載荷與位置

由表3.4及計(jì)算結(jié)果可知，靠近皮帶輪側(cè)的箱體軸承的載荷經(jīng)比另一側(cè)的小，輸入軸的箱體軸承的受力比從動(dòng)軸的箱體軸承的小近10%。

由圖3.18可知，與連桿式平行軸擺線針輪減速器一樣，隨著嚙合角的增大，環(huán)板行星軸承的載荷和皮帶輪的受力增大；由圖3.19可知，隨著偏心距增大，環(huán)板行星軸承的載荷幾乎成線性減少，而皮帶輪軸承的載荷基本保持不變。

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