5.4  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格

相對于結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格而言，非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格能夠更有效的適應(yīng)形狀不規(guī)則、邊界彎曲的復(fù)雜領(lǐng)域，以及依據(jù)不同的分辨率要求，分配求解域內(nèi)的網(wǎng)格。特別是三角形網(wǎng)格（對于二維問題）和四邊形網(wǎng)格（對于三維問題）。

5.4.1  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的特點(diǎn)

在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，網(wǎng)格點(diǎn)總是分布在某種坐標(biāo)變換后的坐標(biāo)線上，在拓?fù)渖鲜且?guī)范的（個別變換的奇點(diǎn)除外），而非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格則不要求拓?fù)渖系囊?guī)范性。

非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的網(wǎng)格點(diǎn)在空間的分布比較自由，不要求每個網(wǎng)格點(diǎn)具有相同數(shù)量的鄰點(diǎn)，每一個網(wǎng)格點(diǎn)參與構(gòu)成的單元數(shù)量也可以互不相同，網(wǎng)格點(diǎn)之間的連接不再具有方向性。在非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的劃分中沒有網(wǎng)格線的概念，因而能夠更為有效地適應(yīng)形狀不規(guī)則、彎曲邊界的復(fù)雜領(lǐng)域，以及依據(jù)不同的分辨率要求，分配求解域內(nèi)的網(wǎng)格。非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的劃分問題都直接在物理平面（或物理空間）中討論。

以三角形單元網(wǎng)格為例，互相靠近的不在同一直線上的三個網(wǎng)格點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)），均可以相互連接而構(gòu)成一個計算單元，只要在這個三角形內(nèi)部以及其邊上，沒有其他的網(wǎng)格點(diǎn)。

5.4.2  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的數(shù)值求解方法

非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的數(shù)值求解方法通常必須采用有限體積法建立差分方程。

有限體積法是介于有限差分法和有限元法之間的一種計算方法，它針對一個有限體積的單元體，通過差分離散建立差分方程。由于非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的網(wǎng)格劃分更接近于有限元的網(wǎng)格劃分思想，直接采用微分方程出發(fā)的差分方法很不方便，而必須采用從積分型方程出發(fā)。本文5.5節(jié)有詳細(xì)的介紹。

5.4.3  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成

非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成大致可分為兩大類：兩步法和一步法。

兩步法就是將非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成分為兩個步驟完成，第一步是在求解域內(nèi)生成網(wǎng)格點(diǎn)：第二步是把邊界上的網(wǎng)格點(diǎn)和內(nèi)部已生成的網(wǎng)格點(diǎn)，連接成合適的三角形網(wǎng)格劃分；

一步法則把網(wǎng)格點(diǎn)的生成與三角形單元的形成統(tǒng)籌考慮，在生成網(wǎng)格點(diǎn)的同時考慮連接關(guān)系，而在考慮三角形的連接時，又同時考慮網(wǎng)格點(diǎn)的增刪，這類工作的代表是Delaunay方法。對于三角形網(wǎng)格單元，每個三角形越接近于正三角形時，網(wǎng)格的素質(zhì)越好。

本文中的非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成是通過網(wǎng)格生成軟件包GAMBIT來實(shí)現(xiàn)的，采用的是Delaunay方法。

5.5  有限體積法求解過程

采用有限體積法，控制體選取為網(wǎng)格單元，將物理量置于網(wǎng)格單元中心，如圖5-1所示。

對方程（5-10）在單元i上積分，有

(5-14）式中，nb(i）表示單元i的相鄰單元數(shù)，下標(biāo)“i,j'”表示單元i和單元j的交界面，表示界面（i,j）處的無粘通量，表示界面（i,j）處的粘性通量，表示界面（i，j）的外法線單位矢量。

在三維的情況下，V_i為單元i的體積，A_i，j為界面（i,j）面積：在二維的情況下，V_i為單元i面積，A_i，j為界線（i,j）長度；Γ_i表示單元i的Jacobian矩陣Γ。

5.5.1  無粘通量的確定

確定無粘通量的方法較多，大體上可以分成兩大類。

一類是中心型格式，這類格式需要加入人工粘性來抑制間斷附近的非物理振蕩，因此，對于這類格式必須較好的控制人工粘性系數(shù)，這帶有相當(dāng)大的人為性，并且難于找到普適的人工粘性系數(shù)，因此很不方便；

另一類是迎風(fēng)型格式，應(yīng)用的較為廣泛的有TVD,ENO和NND等格式。非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格上的TVD和ENO格式在求解Euler方程的時候，取得了較大的成功，但在粘性流體計算中需要借助于網(wǎng)格單元中與控制面相對的頂點(diǎn)值，因而對網(wǎng)格的依賴性較大，要求網(wǎng)格的均勻性較好。

然而，在粘流的計算中，出于分辨邊界層的需要，網(wǎng)格在壁面法線方向相當(dāng)密集。在現(xiàn)有的計算條件下，采用均勻網(wǎng)格是做不到的。NND格式和基于Roe矢通量差分分裂的迎風(fēng)格式，只借助于控制面兩側(cè)單元中心點(diǎn)值，因而對網(wǎng)格均勻性的要求有所減弱。本文采用基于Roe矢通量差分分裂的迎風(fēng)格式。

計算無粘通量的時候，采用Roe矢通量差分分裂，有

ε為略大于零的數(shù)，一般取ε=0.05aM。

A₁由下式計算：A₁=|U_M|，A_2，3=|U_M±a_M|。

這樣，無粘通量的確定就轉(zhuǎn)化成了_L和_R的確定。若取

_L＝₁,_R=_j                      (5-17)

便可方便的得出一階精度格式。顯然，一階精度格式對于粘流的計算來說是沒有應(yīng)用價值的。為了構(gòu)造高精度格式，必須尋求確定_L和_R的高精度方法。對于二階精度格式，_L和_R的表達(dá)式可由下式確定：

其中，（▽）_i和（▽）_j，分別為Q在單元i和j內(nèi)的梯度；k為界面（i,j）的中心，表示單元j中心到k的距離矢量，表示單元i中心到k的距離矢量。將（5-18)代入（5-16)，即可得到無粘通量�？梢宰C明，這樣確定的具有二階精度。

在（5-18）式，我們用到了原始變量的梯度（▽）_i和（▽）_j。在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，物理量的梯度可以由高斯積分公式求得。令ф代表任一變量，則

其中，Ω為積分路徑構(gòu)成的封閉體，Ω為該封閉體的邊界面，為邊界面上的外法線單位矢量。原則上積分路線可以任意選擇，只要包圍計算點(diǎn)即可。

以二維情況為例，計算圖5-1中A點(diǎn)梯度可選C→B→D→C作為積分路徑，但為了保證積分的精度，最好使積分路徑構(gòu)成的封閉體形心與計算點(diǎn)重合，或至少比較接近。

但是，由（5-18）直接得到的格式在激波附近是不穩(wěn)定的，將會出現(xiàn)非物理振蕩。迎風(fēng)格式通過限制物理量的梯度值，來保證物理量在單元內(nèi)的分布具有單調(diào)性，從而達(dá)到抑制間斷附近非物理振蕩的目的。這時，（5-18）式變?yōu)?/p>

5.5.2  粘性通量的確定

粘性通量由控制面上的速度、壓力及密度的梯度項(xiàng)組成，所以粘性通量的計算主要是求出控制面上相關(guān)物理量的梯度值。首先由（5-19）式求出各單元內(nèi)物理量ф的梯度值后，界面（i，j）上物理量的梯度值可簡單地由相鄰單元內(nèi)物理量ф的梯度值的算術(shù)平均得出：

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