第五章  管道開裂射流場的數(shù)值模擬

本章利用已有的流場求解程序，通過有限體積法求解氣體動力學基本方程。文中對開裂后的高壓輸氣管道氣體逸出引起的可壓縮高速自由射流流場進行了數(shù)值模擬，得到了作用于管壁的分布氣體壓力和管道內(nèi)外氣流場的特征參數(shù)。

本章數(shù)學符號獨立，與其他章節(jié)沒有繼承關系。

5.1  湍流場的數(shù)值模擬方法

5.1.1  直接數(shù)值模擬（DNS)

直接模擬方法即不引入任何湍流模型，通過高精度、低色散、低耗散的差分格式求解完整的非定常N-S方程，對湍流的瞬時運動進行直接的數(shù)值模擬。

這種方法的優(yōu)點是：方程本身是精確的，僅有的誤差只是由數(shù)值方法引入的誤差；數(shù)值模擬可以提供每一瞬間所有流動量在流場上的全部信息。

但是，湍流的直接數(shù)值模擬一直受到計算機速度和容量的限制。它的難點及存在的問題主要有：計算量十分巨大；流動平均量一般要比擾動量大幾個量級。求解時，由于差分格式存在截斷誤差，從而可能將真實擾動量淹沒掉。

理論上，直接數(shù)值模擬是射流流場數(shù)值模擬最精確的方法，但由于該方法計算量巨大，對計算機的計算能力有很高的要求，目前的計算機性能還不能夠滿足復雜流動的直接數(shù)值模擬的要求，利用直接數(shù)值模擬求解射流流場問題還沒有見到和實驗結(jié)果進行比較的文獻。

5.1.2  大渦模擬（LES)

大渦模擬的基本思想是把包括脈動運動在內(nèi)的湍流瞬時運動通過某種濾波方法分解成大尺度運動和小尺度運動兩個部分。大尺度量要通過數(shù)值求解運動微分方程直接計算出來；小尺度運動對大尺度運動的影響將在運動方程中表現(xiàn)為類似雷諾應力一樣的應力項，稱之為亞格子雷諾應力，它們將通過建立模型來模擬。

大渦模擬的最主要的困難不在于計算機的限制，而是大渦模擬方法本身。例如，現(xiàn)有的亞格子應力模型還很不完善，特別是近壁區(qū)內(nèi)的模型以及邊界條件的提法等等都是急待解決的問題。使用該方法進行射流流場的數(shù)值模擬也還在探索之中。

5.1.3  湍流模型理論

湍流模型理論在射流流場的數(shù)值模擬中已經(jīng)取得了較好的應用，目前人們已經(jīng)廣泛的應用湍流模型理論對射流的流動進行分析，并取得了很大的進展。

所謂的湍流模型理論就是以雷諾平均運動方程為基礎，依靠理論與經(jīng)驗的結(jié)合，引進一系列模型假設，建立一組描寫湍流平均量的封閉方程組的理論計算方法。目前，在射流流場的數(shù)值模擬中常用的湍流模型有B-L混合長模型，S-A一方程湍流模型，RNGK-ε方程湍流模型，雷諾應力湍流模型等。

在湍流模型的選擇方面：

AndrewT.T.和ChistopherK.W．T.（1996)應用修正的k-ε二方程湍流模型計算了軸對稱及方形、橢圓形噴嘴的自由射流，馬赫數(shù)為0.4～2，計算結(jié)果與實驗值進行了比較，吻合較好：

EghlimiA．和SahajwallaV.(1999)分別采用了k-ε湍流模型、RNGk-ε湍流模型、Realizek-ε湍流模型和雷諾應力湍流模型對軸對稱的亞聲速自由射流進行了數(shù)值模擬。通過計算值與實驗值的比較，可以發(fā)現(xiàn)除了標準的k-ε湍流模型對軸對稱的亞聲速自由射流流場數(shù)值模擬的結(jié)果與實驗值有較大偏差外，采用其他三種湍流模型計算結(jié)果與實驗值都吻合得比較好；

NASA的ReddyD.R.,SteffenC.J.,ZamanK,B.M.Q.(1999)應用S-A湍流模型對三維方形噴嘴自由射流進行了數(shù)值模擬，計算結(jié)果表明，在超聲速流動下，計算值與實驗值吻合較好，在亞聲速流動時偏差較大。

5.2  S-A湍流模型

根據(jù)流場數(shù)值計算領域已有的研究經(jīng)驗，結(jié)合本文問題的性質(zhì)，在大量試算的基礎上，本文選擇了S-A湍流模型。這一節(jié)介紹該模型的原理。

S-A湍流模型是Spalart和Allmaras在1992年提出的一方程湍流模型，具體描述如下：

湍流運動粘性系數(shù)滿足輸運方程

S-A湍流模型常用于大梯度、近壁的氣體流動的數(shù)值模擬，在渦輪機械、高速氣體流動等方面的計算中有著廣泛的應用。

5.3  N-S控制方程

非定常可壓縮的射流滿足如下的積分形式的N-S方程：

上式中，Ω是控制體，Ω是控制體邊界面，W是求解變量，F(xiàn)是無粘通量，G是粘性通量。

式中P為密度，U=u+v+w表示速度，E為總能，，，分別為沿x，y，z方向的單位矢量。為粘性應力項，是熱通量。

將以上各項寫成分量形式：

其中μ_v是分子粘性系數(shù)，μ_t是湍流粘性系數(shù)，Pr_v是分子普朗特數(shù)，Pr_t是湍流普朗特數(shù)。

為了便于粘性通量的計算，采用原始變量為變量，定義為

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