第五章 不對中齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)彎扭耦合振動力學模型

5.1 引言

在第二、第三章推導系統(tǒng)的運動方程時，采用了幾個基本假設(shè)，其中有一個條件是“聯(lián)軸器各內(nèi)外齒承載相同”，這個條件隱含了這樣一個事實“內(nèi)齒套軸線和外齒輪軸線間是在對中的條件下進行線性化的”，這一假設(shè)也是被山內(nèi)進吾[32]、Marmol[34]和Kramer[35]等所普遍采用的。而齒輪聯(lián)軸器在使用過程中，內(nèi)外齒輪軸線間有時會出現(xiàn)不對中或產(chǎn)生動態(tài)偏移的情況，在這種情況下各齒所分擔的載荷要發(fā)生變化，按嚙合理論[100]二者的嚙合關(guān)系應為如圖5.1所示，此時只有很少的幾個齒對嚙合（具體由重合度來確定嚙合的齒對數(shù)）。實際上即使在對中的條件下，如果考慮輪齒的誤差也會發(fā)生上述情況。日本學者Ssigeo[73]分析了齒輪聯(lián)軸器輪齒的誤差后得出了一套計算公式，通過計算可知，當m=3，Z=56時，其極限情況只有不到4對齒接觸。工程實際的分析和試驗[63,69]表明，一些采用齒輪聯(lián)軸器連接的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會程度不同地產(chǎn)生倍頻的振動分量，而這一倍頻分量的出現(xiàn)正是齒輪聯(lián)軸器不對中的典型特征，因此有必要進行相誚的分析。以往在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的分析中，有關(guān)彎扭耦合振動方面的研究未見報道。

本章重點討論齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪軸線間具有動態(tài)不對中時系統(tǒng)的建模問題，有關(guān)二軸線間存在靜態(tài)不對中時的情形，我們將在第七章作詳細地分析。本章的內(nèi)容安排如下：首先根據(jù)內(nèi)外齒輪的齒面方程和不脫齒的嚙合條件，推導了齒輪聯(lián)軸器所滿足的約束方程，然后由拉格朗日方程，在旋轉(zhuǎn)坐標系中建立了軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運動方程，并分析了產(chǎn)生彎扭耦合的原因。

5.2 漸開線直齒內(nèi)齒輪副（零齒差）傳動的運動學分析

設(shè)S_i（o_ix_iy_iz_i）坐標系是與內(nèi)齒套固連的動坐標系，如圖5.2所示。x_i軸與內(nèi)齒套某一齒的一側(cè)齒形相交于基圓（半徑為r_b）上，z軸與內(nèi)齒套軸線重合，o_i為坐標原點。設(shè)S（oxyz）坐標系為固定坐標系，則有

同理設(shè)S_e（o_ex_ey_ez_e）坐標系是與外齒輪固連的動坐標系，可得

在動坐標系中，漸開線直齒齒面上任意一點P的齒面方程（內(nèi)齒套）為

式中 γ_k=α+β_k    k=i,e

將（5.3）式代入（5.1）式得

在S坐標系中，內(nèi)齒套齒面上P點的法線向量和速度分別為

同理可得，外齒輪上p′點的法線向量和速度為

不脫齒輪嚙合的條件為

由此可得

其中：A為兩輪中心連線的長度，即

積分（5.10）式即得

（θ_i-θ_e）²=[（x_ji-x_je）²+（y_je-y_je）²]/r_b²                                    （5.11）

設(shè)β角是連心線與x軸之間的夾角，參見圖5.1，則有

實際上在S系中p和p′的對應坐標應相等，由此可方便地得到

β+π/2=γ+θ_i+γ_i=γ+θ_e+γ_e                                    （5.13）

上式表明嚙合線與連心線是平行的，這一結(jié)論與文獻[100]相同，這從另一個側(cè)面驗證了（5.10）式、（5.11）式的正確性。以上的嚙合關(guān)系與外齒輪嚙合具有類似的形式，只不過在齒輪聯(lián)軸器中，內(nèi)外齒輪的基圓半徑是相等的。由式（5.13）可以得

在上式中，如果轉(zhuǎn)動角速度Ω是勻速的，并且 k=i,e是小量時，則 此時，β是以Ωt加上一個微小變化的轉(zhuǎn)角。這樣內(nèi)齒套、外齒輪及二軸中心線的連線均是以軸的轉(zhuǎn)動角速度Ω加上一個微小變化的量旋轉(zhuǎn)的。

5.3 半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)彎扭耦合的動力學分析

軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程的建立可參考文獻[90]，下面主要討論在齒輪嚙合處運動方程的建立。由齒輪聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)見第三章的圖3.1，由一對齒數(shù)相等的內(nèi)嚙合齒輪和左右二段軸組成。設(shè)oxyz是固定坐標系，oξηz是旋轉(zhuǎn)坐標系，Ω是圓盤的轉(zhuǎn)動角速度。

如果將（5.11）式變換到旋轉(zhuǎn)坐標系oξηz中，則有

設(shè)

β_R表示在旋轉(zhuǎn)軸系中，內(nèi)外齒輪中心連線與ξ軸之間的夾角。因為

β是內(nèi)外齒輪連心線與x軸的夾角。

從而可得

由此可見β_R與β相差一個Ωt。

5.3.1 圓盤的運動及其動能計算

圓盤的運動可分解成隨其質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。質(zhì)心o₁的平動位移為（x_c，y_c），不計沿z軸方向的運動。圓盤繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動可用三個歐拉角來表示，如圖5.4所示。設(shè)o₁XYZ是與oxyz平行的坐標系。o₁XYZ坐標系的單位矢量為，o₁x_my_mz_m系的單位矢量為，（m=1，2，3），則圓盤的轉(zhuǎn)動由如下三個步驟完成：

（1）繞o₁Z軸轉(zhuǎn)Θ至o₁x₁y₁z₁；

（2）繞o₁x₁軸轉(zhuǎn)-ε至o₁x₂y₂z₂；

（3）繞o₁y₂軸轉(zhuǎn)δ至o₁x₃y₃z₃；

在各坐標系中，單位矢量之間的關(guān)系

圓盤的轉(zhuǎn)動角速度

在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，自轉(zhuǎn)角Θ=Ωt+θ，以上偏角ε，δ，θ，ψ，φ均是小量，則可得出如下關(guān)系

圓盤的動量矩

對于圓盤，其動能包括平動動能和轉(zhuǎn)動動能

其中

5.3.2 旋轉(zhuǎn)坐標系中的運動方程

在小擾動下滿足關(guān)系式（5.15），再由式（5.11）和式（5.16）可得

r_b²（θ_ji-θ_je）²=（ξ_ji-ξ_je）²-（η_ji-η_je）²                              （5.26）

其中下標變量je、ji分別表示第j個結(jié)點處外齒輪和內(nèi)齒輪。

上式是一個反應齒輪嚙合處內(nèi)外齒輪的扭轉(zhuǎn)擾動角和橫向位移之間的約束關(guān)系，而且是一個完整約束。對于具有復雜約束關(guān)系的多自由度系統(tǒng)，利用拉格朗日方程來建立系統(tǒng)的運動方程具有許多優(yōu)點，因此被廣泛采用。

半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動能包括內(nèi)外齒輪的平動動能和轉(zhuǎn)動動能；彈性勢能包括左右軸段的彈性勢能和半齒輪聯(lián)軸器的彈性勢能；耗散函數(shù)包括內(nèi)外齒輪之間的橫向內(nèi)阻尼和轉(zhuǎn)角內(nèi)阻尼，由于扭轉(zhuǎn)內(nèi)阻尼較小可將其忽略，具體的分析過程可參見第三章3.2.2和3.2.3節(jié)。這樣取q=ξ_je，η_je，δ_je，ε_je，θ_je，ξ_ji，η_ji，δ_ji，ε_ji為廣義坐標，將以上的約束方程（5.26）式代入半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動能，勢能及耗散函數(shù)中，消去多余的變量θ_ji，再由拉格朗日方程就可以得到在齒輪嚙合處的運動微分方程。由于推導過程比較冗長，在此僅列出最終的運動微分方程。對于小偏離情況，將其中的高階小量略去，則對于第j個結(jié)點（其中外齒輪下標為e，內(nèi)齒套下標為i）

（5.27）式、（5.28）式中所定義的Ω方向與Z軸方向相同，當Ω方向與Z軸方向相反時，Ω以-Ω代入即可。從上式可見，方程系數(shù)矩陣中的元素與β_E有關(guān)，而β_R又與系統(tǒng)的廣義坐標有關(guān)，因此方程是非線性的。只有在β_R變化很小時才能進行線性分析。

通過上述過程，得到了半聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動微分方程，再與其他各結(jié)點的運動方程集合在一起，就得到轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動方程。然而，對于旋轉(zhuǎn)機械，在轉(zhuǎn)子的某處總存在著軸承，即形成軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，這樣就需要引入支承條件，具體的做法是只要在轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)上具有軸承支承的自由度處用廣義力（即軸承油膜力）來反映支承的影響。以滑動軸承為例，經(jīng)過線性化處理后的油膜力在固定坐標系中可表示為

其中k_xx，k_xy，k_yx，k_yy為油膜剛度系數(shù)，d_xx，d_xy，d_yx，d_yy為油膜阻尼系數(shù)。

變換到旋轉(zhuǎn)坐標系中以后

由此得

式中

其中是與時間有關(guān)的（即其中的每個元素均是Ωt的正弦和余弦函數(shù)），只要將上面的加到相應結(jié)點處的運動方程的左邊，即可得到在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動微分方程。

一個特例是當油膜剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)采用如下關(guān)系

k_xx=k_yy=k  k_xy=k_yx=0  d_xx=d_yy=d  d_xy=d_yx=0                              （5.34）

則得

動態(tài)油膜力為

此時動態(tài)油膜力不隨時間而變化。

如果在某些情況下，不能將滑動軸承的油膜力線性化或者因線性化而帶來較大誤差，那么可以采用非線性油膜力模型。

對于軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動是整個軸系振動的兩個部分，以往在分析此類系統(tǒng)時往往把二者分割開來，原因是用來表征它們運動的廣義坐標是解耦的，但在大型的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中加入了齒輪聯(lián)軸器之后，系統(tǒng)的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動就耦合起來了，不能再把二者分割開來。

這樣集總后的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動方程。簡寫為

其中 {ζ}—系統(tǒng)的位移、轉(zhuǎn)角列陣

[M]—廣義質(zhì)量矩陣

[C]—包括阻尼陣、陀螺力陣、科氏慣性力陣等

[K]—包括剛度陣、牽連慣星力陣等

以上在旋轉(zhuǎn)坐標中建立了軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運動微分方程，這樣就可以深入地探討聯(lián)軸器內(nèi)齒套和和外齒輪之間的相對運動關(guān)系以及齒輪聯(lián)軸器在整體系統(tǒng)中的影響。

系統(tǒng)方程的無量綱化過程可參見第三章3.5節(jié)。

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