4.3 解題方略
4.3.1 結(jié)構(gòu)有限元分析所用單元的類型選擇
為了計算結(jié)果與實驗結(jié)果相對照以驗證計算模型的正確與否，所選擇的單元其計算應(yīng)力應(yīng)能以總體坐標(biāo)的形式來表示。疊片在軸向變形時，其位移量通常在1---2mm（角向位移時，許多節(jié)點(diǎn)的情況亦如此）這大大超過疊片的厚度（0.2—0.5mm )，因而其有限元應(yīng)力分析應(yīng)為幾何非線性分析�；诏B片的幾何特性，我們選用三角形板單元來模擬它的大部分區(qū)域，而在螺栓孔附近、疊片被墊片由預(yù)緊力壓住，形成接觸面的區(qū)域我們采用三維體元來模擬，這是因為在這種情況下，亦即存在著三維接觸元的情況下，APOLANS程序指定必須使用三維體元，雖然在實際的幾何尺寸中，單一三維體單元上厚度與長、寬尺寸差別較大，但在實際計算中，程序能夠接受這種尺寸比例的體元，因此我們可以認(rèn)為這種形式是適宜的。當(dāng)然，最重要的還是體元和板元的交界部分如何對接。
如上圖網(wǎng)格狀陰影部分為接觸區(qū)，即用體元來表示的區(qū)域，疊片的其余部分均用板元來表示，對于上圖所指外圈處，亦即三維體元與板元的交界處，我們采用了如下圖所示對接觸方法。
如圖所示，我們以12節(jié)點(diǎn)體元來模擬螺孔中心帶磨擦部分的疊片實體，右邊為三角形板元，其中第9、第10兩個節(jié)點(diǎn)為三維體元和三角形板元共享的節(jié)點(diǎn)，這樣就可以將兩個部分結(jié)合在一起了。
當(dāng)然，在三維體元和三解形板元的邊界對接上是有很多種方法的，為了確保我們這種對接方式是最為有效、可靠的，我們做了大量的計算工作，嘗試了諸多對接計算模型的驗算，最后得出結(jié)論，只有上圖所表示的接法才能夠保證在載荷相同的情況下（即原載荷加在板元上，現(xiàn)在加在體元上），板元內(nèi)部各點(diǎn)上所受力、力矩的方向和數(shù)量級才能保持一致，其余的各種方法，要么是力的數(shù)量級別產(chǎn)生較大差異，要么是力、力矩的方向發(fā)生變化，由此使我們最后認(rèn)定以圖4.3.2所示的對接方法是可反映實際情況的，后面將計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相印證也證明了這種方法的可行性。
4.3.2 靜力平衡方程的解法
對于靜力問題最后建立的控制方程為代數(shù)方程組，對線性問題為線性代數(shù)方程組，對非線性問題為非線性代數(shù)方程組。
4.3.2.1 線性代數(shù)方程組的解法
一個線性方程組可寫成
[K][X]=[R] (4.3.1)
其中[K]為剛度陣，[X]為位移向量，[R]為載荷向量。
大多數(shù)情況下[K]陣是對稱、正定的，所以有三角化分解：
[K]=[T]T[T] (4.3.2)
[T]為上三角陣，再進(jìn)一步分解可得
[K]=[T]T[D][T] (4.3.3)
此時[T]為單位對角元的上三角陣，[D]為對角矩陣，由此得；
[T]T[D][T][X]=[R] (4.3.4)
即[T]T[D][Z]=[R] (4.3.5)
[Z]=[T][X] (4.3.6)
式（4.3.5）為前代，(4.3.6）為回代，由此而計算出位移向量X ，有限元法形成的K矩陣是對稱、正定、稀疏的，非零元主要分布在矩陣對角線兩側(cè)，一維變帶寬存貯方法利用這一點(diǎn)，各列順序存貯，但僅存貯第一個非零元以下的元素，由于對稱僅存上三角矩陣，當(dāng)實際工程模型較大時，內(nèi)存放不下總剛度陣[K] , 則矩陣將被分塊存貯于磁盤上，即程序規(guī)定給用戶一部分內(nèi)存空間A 作為工作數(shù)組用，不同計算階段分配不同存貯內(nèi)容，在組集總剛度陣時，存各元素信息及分塊的總剛度陣，內(nèi)、外存交互求解時放兩個總剛度陣的塊�？倓偠汝嚰窗碅/2，數(shù)組尺寸自動分成若干塊，存入磁盤文件。分解時按序調(diào)各塊進(jìn)入內(nèi)存。
4.3.2.2 非線性代數(shù)方程組的解法
在疊片的帶摩擦元的強(qiáng)度計算中，我們采用了帶線性搜索的完全牛頓迭代方法。
一、牛頓拉斐遜法
結(jié)構(gòu)的總位能為：
Π= U(q)-{q}T{F} (4.3.7)
其中，U(q)為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，{q}T{F}為外載所做的功。
由虛功原理使上式總位能變分為零可得有限元平衡方程：
Π=[W（q）][P(q)][F]=[K(q)][q]-[F] （4.3.8）
其中，[P(q)]是與應(yīng)力等效的節(jié)點(diǎn)力，[F]為外載。
我們有第i 次迭代得到 的［Ki（qi）］可求到第i+1 次的未知變量｛qi+1｝ 。
｛qi+1｝={qi′}-ωi[Ki]-1([Ki]{qi}-{F})
為超松馳因子，用以加速收斂，即當(dāng)我們有一個近似解{qi}時，可用截斷的階泰勒級數(shù)得到一個改進(jìn)的解：
上式左邊稱為雅可比矩陣，右邊第一項為載荷位移空間的切線剛度，它是對稱的，所以有：
[Δqi]=-[Ki]-1T（[P（qi）]-[F]） ( 4.3.12)
其中（）內(nèi)為第i 次迭代不平衡力。
二、線性搜索加速
在求解方程（4.3.8)時，，尋求一個n 階矢量{q } ，實際上是在n 維空間找到一個方向和步長來滿足該方程。對于非線性方程組，要經(jīng)過多次迭代，每次迭代均要找到一個方向和步長，逐步達(dá)到平衡解，為了加速迭代的收斂，在由式（4.3.12）決定的力向上尋求一個優(yōu)化的步長，即將｛△q｝乘以某一標(biāo)量η而使迭代加快。決定η 的原則是使能量增量φ最小化，即：
實際上直接按上式尋找η很費(fèi)事，每尋找一個｛△q｝，必須解一次方程（4.3.10）所以又有近似方法更簡便，當(dāng)不等式
|△{△qi+1}T{△F(qi+△qi+1)}|≤α|{△qi+1}T{△F(qi)}| (4.3.15)
成立時，即可得到滿意的收斂率，其中α是收斂容差，一般在0.5-0.9之間，如上式不成立，則使用線性搜索以改善收斂速度。
|△{△qi+1}T{△F(qi+η△qi+1)}|≤α|{△qi+1}T{△F(qi)}| (4.3.16)
可用線性插值尋找η。
三、收斂準(zhǔn)則
運(yùn)用迭代法存在兩次迭代間滿足什么樣的準(zhǔn)則可以終止本次迭代問題，目前有三種收斂準(zhǔn)則。
（一）位移準(zhǔn)則
||△qi+1||＜=αD||qi+qi+1|| (4.3.17)
其中αD為位移收斂容差，一般取0.1%--0.5%
取得是歐幾里德范數(shù)
（二）不平衡準(zhǔn)則
||△Fi||＜=αD||F||
（三）能量準(zhǔn)則
{△qi}T({F}{Pi})＜=αE(Ui+Ti)
即把每次迭代時內(nèi)能的增量（也就是不平衡力在位移增量上所做的功）同當(dāng)前的總能量相比較。
其中，Ui為勢能，Ti為動能
αE是預(yù)定的能量容差。
單純使用位移準(zhǔn)則或不平衡準(zhǔn)則不很理想，有些情況不會出現(xiàn)較大偏差，能量準(zhǔn)則同時控制位移和力，由此達(dá)到平衡，是本文所采用的方法。
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