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二）摩擦滑移接觸下的接觸勢

與二維情況相同，此時被動接觸面上的實際接觸點p 的相對位置在不同迭代時是移動的，即i+1時的α,β與i時的相比較有一增量的。為簡化方程和對稱的目的。建立Πc時忽略i+1時的相對小量△α，△β，△γ，

對于磨擦滑移接觸，接觸面變形一致條件是在主動接觸節(jié)點k處沿被動表面法線方向變形一致，則得

式中n_j表示與k主動接觸節(jié)點相接觸的被動接觸面第j個單元的單位法線矢量將上式代入（4.1.9) ，并利用下式

三、接觸控制方程

將式（4.1.19）（4.1.21）代入式（4.1.10 ) ，通過有限元常用的推導過程可得帶有接觸分析的最后控制方程

方程總維數(shù)應(yīng)為各接觸體位移自由度數(shù)加上主動體接觸點獨立接觸力數(shù)，當該點為粘式接觸時，一個主動體接觸點的接觸力數(shù)與位移自由度數(shù)一致，當為滑移接觸時，一個主動體接觸點僅有一個未知接觸力。

其中對粘式接觸，一個主動接觸點k:

[I]是3*3階單位矩陣，第i+1步求解矢量為：

2.滑移接觸，對一個主動接觸點K：

求解矢量

[△q⁽ⁱ⁺¹⁾△λ⁽ⁱ⁺¹⁾]_1×18=[{ △q_k⁽ⁱ⁺¹⁾}^T{△q_A⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_B⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_C⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_D⁽ⁱ⁺¹⁾}^T{△λ_k⁽ⁱ⁺¹⁾}] (4.1.29)

基中λ_l, △λ_l分別為沿接觸面法線方向的接觸力及其增量。

4.1.3 接觸條件的判斷、修正

由接觸控制方程（4.1.22）可解得i+1步接觸力與各節(jié)點上位移，此時必須判斷各節(jié)點處于哪種接觸狀態(tài)，如前后兩步接觸狀態(tài)不同，則要修正i+1 步的接觸條件。即以（4.1.22）式求得接觸節(jié)點力后，按插值函數(shù)求得等價的接觸單元分布力，進而求出接觸單元的合力以判斷接觸狀態(tài)，再以接觸面上一節(jié)點周圍各單元接觸情況判斷該節(jié)點接觸狀態(tài)，據(jù)此來修改控制方程，進行新的迭代，直到收斂。

對于主動接觸面上第k個節(jié)點的接觸力增量可由節(jié)點平衡條件求出

{△R_k⁽ⁱ⁾}=[M]{q_k⁽ⁱ⁾}+[D]{q⁽ⁱ⁾}-{F_K}-{T_K}+(P_K⁽ⁱ⁾) (4.1.30)

所有主動體上接觸節(jié)點的接觸力總矢量為

{△R⁽ⁱ⁾}= （4.1.31）