2.2.3  數(shù)值穩(wěn)定性分析

在顯式時間積分中，除非時間步長選得足夠小，否則會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性，從而使計算結果失去意義。盡管對于完全非線性問題，不能進行穩(wěn)定性分析，但是經(jīng)驗表明線性分析也會給出有用的時間步長估計。一般說來，將線性穩(wěn)定的時間步長減少10%到20%，可以克服非線性帶來的不穩(wěn)定性。

對于中心差分，線性分析表明時間步長

其中，是系統(tǒng)的最高頻率，是最高頻率下的臨界阻尼系數(shù)。

ω是下面問題的特征值：

[K]{X}=ω²[M]{X}                    （2-44）

其中[K]是系統(tǒng)的剛度矩陣，[M]是質量矩陣。

在實際計算中，我們并不是直接計算系統(tǒng)的ω_max，而是計算單元的。在所有的單元的中選擇最大值作為ω_max。

對于板單元，有

其中，C_l是平面縱波波速，對四邊形板單元來說，L是短邊的長度。

2.2.4  氣體壓力模式

1.3.3節(jié)提到了解耦算法中氣體壓力模式的廣泛應用。對于含裂紋擴展的管道，其內部管壁受到的氣體壓力由兩種模式組成：裂紋前面氣體減壓傳播和裂紋后部的氣體壓力衰減。

Battelle的Maxey等人在實驗中采用壓縮空氣、氮氣以及甲烷含量高的天然氣觀察氣體的減壓行為，發(fā)現(xiàn)理想氣體規(guī)律足以滿足這些氣體的狀態(tài)等式。假設氣體的膨脹過程是等熵過程，充滿氣體的管道突然發(fā)生開裂，整個狀態(tài)中氣體成分混和均勻，則裂尖附近氣體局部壓力與裂紋擴展速度有如下關系:

式中p_d為減壓后的壓力水平（MPa)；p_i為開裂前管內壓力（MPa)；v為裂紋擴展速度（m/s)；v_a為初始壓力和溫度狀態(tài)下的聲速（m/s)；為起始狀態(tài)下氣體的絕熱系數(shù)，C_P和C_v分別為定壓比熱和定容比熱。

從（2-46）式可以看出，當裂紋在管道上擴展時，裂紋前面的氣體減壓傳播，其數(shù)值低于氣體初始壓力值p₀，氣壓減少值主要取決于裂紋的擴展速度，對于穩(wěn)態(tài)擴展的長裂紋，管道內部氣體減壓趨于穩(wěn)定的數(shù)值。

當裂紋沿管壁快速擴展時，裂紋后面的氣體逸出，氣壓降低，但是與液體壓力不同的是，該區(qū)域內的氣體壓力并不是立即降為零值，而是穩(wěn)定地衰減至大氣壓力，并有一段明顯的衰減區(qū)。在這一衰減區(qū)內，氣體壓力仍然作用在已經(jīng)開裂的管壁上，加速管壁的變形。

根據(jù)實驗給出的實際管道開裂實驗的結果，發(fā)展了裂紋后面氣體壓力衰減模式，將氣壓的衰減表示成裂紋位置和初始壓力的函數(shù)。常見的衰減模式有指數(shù)衰減的Fourier級數(shù)和拋物線衰減函數(shù)等。

更為簡便的是圖2-5所示的氣體壓力衰減模式是線性衰減函數(shù)，圖中以裂紋擴展方向z為橫軸，壓力分布p為縱軸，其計算表達式為

P（z）=P₁（1-），z<L                    （2-47）

式中z是計算截面的位置，L是衰減長度。在計算中，L取1.5倍或2倍的管道外徑。

2.3  管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴展問題的數(shù)值模擬

本節(jié)著重介紹穩(wěn)態(tài)擴展條件下的開裂管道計算結果，力求從多個角度模擬管道變形的真實狀態(tài)，為建立止裂判據(jù)與后文的減速機理打下基礎。

2.3.1  計算模型與邊界條件

管道上的裂紋一般從起裂點同時向兩側擴展。因管道幾何形狀和載荷分布具有對稱性，本文取一側管道的一半來分析和計算，即四分之一模型，如圖2-6所示。采用四節(jié)點板殼單元，沿管道軸向和環(huán)向分別劃分網(wǎng)格，在管道內壁給出氣體壓力分布。

在對西氣東輸管道進行計算時，采用的管道模型長度L=37.5m，直徑D=1.016m，厚度h=0.0147m，沿軸向劃分為250個單元，環(huán)向劃分為16個單元，共4000個單元，4267個節(jié)點，每個四邊形單元軸向長度0.15m，環(huán)向長度0.lm。下文如無特殊說明，則網(wǎng)格均按此劃分。

在圖2-7中，C點表示裂尖位置：裂紋沿LINE4擴展，在A、B點和邊界LINEl、LINE2、LINE3和LINE4上施加不同的邊界條件。I、Ⅱ和Ⅲ區(qū)代表卸載區(qū)、減壓區(qū)和裂前區(qū)：其中，點A、B和邊界LINEl、LINE2、LINE3是約束邊界條件，C點和邊界LINE4為運動邊界條件。I、Ⅱ及Ⅲ區(qū)隨時間而變化。

根據(jù)對稱性指定邊界條件如下：

B、F點是固定點；

C點隨時間而變化，AC是自由邊；

邊界LINE1（包括A點）與LINE3上約束了z向的位移和繞x、y軸的轉動；

邊界LINE2上約束x、y向的位移和繞x、z軸的轉動；

邊界LINE4上約束x向的位移和繞y、z軸的轉動。

2.3.2  表征裂紋驅動力的G與CTOA的計算

本節(jié)采用節(jié)點力釋放法計算裂紋驅動力G。根據(jù)（2-38）式，以鋼制管道為例，指定設計參數(shù)：直徑為0.72m，壁厚0.015m，管長取37.5m，壓力為0.30MPa,裂紋穩(wěn)定擴展速度為550m/s。圖2-8給出了程序計算的結果，反映了裂紋驅動力與裂紋擴展距離的變化關系。在這一計算中，裂紋后面壓力衰減長度，即（2-47)式中的L，取為2倍的直徑長度。

如圖2-8，隨著裂紋起裂后的迅速擴展，裂紋驅動力上升直至達到并保持在穩(wěn)定的數(shù)值，這一平臺值1.6KN/m就是裂紋穩(wěn)態(tài)（steady state）擴展的驅動力G。裂紋尖端的移動過程中，G在該值附近有一些小的波動，這是由于裂紋長度的突然增加和位移約束的突然解除，引起的有限元解的高頻振蕩。振蕩的幅度與有限元單元網(wǎng)格的疏密和單元內節(jié)點力釋放的指定規(guī)律有關。

圖2-9表示了CTOA的計算方法。由于在裂紋后方有很大的非線性變形，計算中張開位移用割線近似，采用8個單元的長度來計算CTOA。這一長度經(jīng)過與細化后的網(wǎng)格結果比較，誤差在10%之內。

2.4  管道穩(wěn)態(tài)裂紋擴展算例分析

如2.1.2節(jié)所述，可在Kanninen（1980）按一維梁模型推導的輸氣管線裂紋擴展極限速度（2-6a）式的基礎上，對高延性管道進行修正。按照西氣東輸管道選用的設計參數(shù)，可得到大致的延生斷裂穩(wěn)態(tài)裂紋擴展速度，估算裂紋穩(wěn)態(tài)擴展達到該速度時的裂紋驅動力G和CTOA。另外，通過選用不同的設計參數(shù)，可給出穩(wěn)態(tài)裂紋驅動力隨內壓、壁厚、管徑以及徑厚比等參數(shù)變化的規(guī)律。

2.4.1  西氣東輸設計參數(shù)下的典型算例

在這一小節(jié)，我們研究的管道參數(shù)限于：管道長度L=25m，直徑D=l.016m,內壓10.OMPa，厚度h=0.0147m。網(wǎng)格劃分比2.3.1節(jié)中的網(wǎng)格兩個方向各密一倍，即：沿軸向劃分為500個單元，環(huán)向劃分為32個單元，共16000個單元，16533個節(jié)點，每個四邊形單元軸向長度0.05m，環(huán)向長度0.05m。裂紋穩(wěn)態(tài)擴展速度按（2-6b）式，取為216m/s。軸向壓力衰減長度取1.5倍直徑，即約1.5m。

首先觀察裂尖附近的MISES應力分布，如圖2-10。按以針狀鐵素體和塊狀鐵素體組織為主的X70鋼級管線鋼的平均屈服強度500～600MPa估算，計算給出的裂尖前部塑性區(qū)長度大約在3個單元長度以內，即0.15m左右。

圖2-11直觀地給出了內壓10MPa，裂紋速度216m/s時一維管道氣體壓力模型（L=1.5D）下的管壁壓力沿軸向的分布。每條曲線的衰減起始點即為該時刻的裂尖位置。圖中裂尖壓力約為6.6MPa。

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