2.2.1.2  運動方程

對于慣性力不可忽略的結構進行分析，要求解運動方程，以獲得系統在瞬時狀態(tài)下的位移和速度、加速度。一般的方法是按照平動和轉動的自由度，分別給出運動方程。在有限元中，對于離散化的節(jié)點，要相應地給出它的三個平動方程和三個轉動方程。

三個平動方程為：

其中i代表節(jié)點號，m_i為節(jié)點質量，，，為平動加速度，為外力，為變形引起的內力（其中j=1，2，3，分別表示三個坐標軸方向x，y，z）。

三個轉動方程為：

其中I_ij為轉動慣量，，分別為角速度和角加速度，為外力矩，為變形引起的內力矩。

公式（2-24），（2-25）中的內力分量和可以如下求得：

首先根據虛功原理，在一個單元E內，對節(jié)點i有：

其中對i不求和；j代表各方向，對j求和。為單元E的應變率，V是單元體積。

由上述方程可以得到節(jié)點內力和節(jié)點內彎矩：

利用疊加原理，將每一個單元內的節(jié)點上的內力和內彎矩分別求和，可得到節(jié)點上的相應分量：

其中，是如下定義的相關系靈敏：

=1      當單元E中的節(jié)點A與節(jié)點i相關；

=0      當單元E中的節(jié)點A與節(jié)點i無關。

將方程（2-28）代入方程（2-24）和（2-25），可得到各節(jié)點的加速度與角加速度：

對于每一時間步長，由運動方程首先解出各節(jié)點的平動加速度，然后根據顯式中心差分公式解出各節(jié)點速度：

利用位移可以根據幾何方程和本構方程求得應變和應力。

2.2.1.3  本構方程

本文研究鋼制管道的裂紋擴展。忽略軋制過程的影響，鋼材可看作各向同性材料，則本構關系可以寫成分段線性彈性的形式。進一步考慮到本文采用節(jié)點力釋放法進行裂紋擴展計算，裂尖附近的應力集中影響不大，故可采用線彈性本構關系計算。

對于板殼單元，在單元隨體坐標下應變和應力均只有三個分量：

2.2.1.4  局部坐標下的邊界條件

一般地，可以在邊界處約束任意平動與轉動分量，即令其為零。如要定義的運動分量不在總體坐標系下，則需在該節(jié)點定義局部坐標（X，Y，Z）。計算上可以通過定義X和Y坐標的方向余弦c_xX，c_yX，c_zX，c_xY，c_yY，c_zY來實現。Z坐標的方向余弦可通過其正交性由下式求得：

將上面的轉換矩陣定義為[c]，則邊界條件中的平動速度可按（2-36）式轉化為局部坐標中的分量，轉動角速度按下式定義：

然后將被約束的分量置零，求解。求解后的平動速度和轉動速度可分別通過（2-36）和（2-37）的逆變換轉化成總體坐標中的分量。因為新的角位移量從方程(2-31）和關于b₁的方程直接解得，邊界條件通常反映在更新的位移和節(jié)點向量b₁中。

2.2.2  斷裂動力學基本方程

2.2.2.1  生成模式與擴展模式

在管道裂紋擴展問題中，因動態(tài)斷裂發(fā)生的時間很短，以及裂紋擴展速度的非預先確定性，使得測量高階的物理量如能量分布、瞬時動態(tài)能量釋放率和動態(tài)裂紋尖端應力場變得十分困難。為此針對管道快速斷裂問題發(fā)展了兩種分析計算模式：生成模式（Generation mode）和擴展模式（Propagation mode）。

生成模式就是給定管道的幾何尺寸和工作條件，同時必須給出已知的以裂紋擴展長度或者裂紋速度表示的裂紋擴展歷史作為補充條件使得問題可解，從而計算裂紋驅動力G（或CTOA和評估斷裂韌度Gd（或（CTOA）c）。

本章計算中的裂紋擴展速度取為定值，該值未必是裂紋穩(wěn)態(tài)擴展的真實速度。然而通過指定不同的速度值，可以尋找對應于某一特定穩(wěn)態(tài)裂紋擴展速度的G或CTOA，如果該值小于材料韌性，可以判斷發(fā)生止裂；否則可能發(fā)生擴展。從而得到一些有價值的結論，例如在什么速度下管道失穩(wěn)斷裂等等。這種分析方法是運用了生成模式。

擴展模式是通過實驗測量裂紋速度和壓力分布，分析G_d（或（CTOA）），找到它與裂紋速度之間的關系，分析確定產生裂紋擴展需要的驅動力，從而得到一定條件下是否止裂的結論。包括第一章提到的雙曲線法和后面提到的韌性減速機理等以實驗和結合實驗的計算為主的分析方法，就是采用了擴展模式。

2.2.2.2  節(jié)點力釋放技術

節(jié)點力釋放（Node Foroe Release)，顧名思義就是當裂紋頂端通過有限元網格中的某節(jié)點時，便解除該節(jié)點在網格中本來起到的連接作用，即將其分為兩個節(jié)點，并釋放連接力，如圖2-4。

在典型的生成模式計算中，可根據指定的a(t）或v(t）判斷裂紋經過的時間和路線，依次釋放節(jié)點力；另一種運用擴展模式的方法是通過判斷裂紋頂端被約束的節(jié)點力達到F_c時，這個節(jié)點便被松弛。這里的F_c是指定的，它與網格尺寸以及動態(tài)斷裂韌性K_ID有關。Keergstra(1976）證明，對于給定的網格，裂紋頂端的節(jié)點力正比于應力強度因子K_ID。

早期將有限元法應用于動態(tài)裂紋擴展時，裂尖運動由不連續(xù)的突進進行模擬：在時間增量△t內，裂尖沿裂紋方向從單元的一個節(jié)點改變到下一個節(jié)點。為了得到比較精確的解答，必須采用較小的時間步長△t，通常為膨脹波在兩個最近單元節(jié)點間傳播所需要的時間。由于裂紋傳播速度通常明顯低于波速，在時間△t內裂尖實際上通常只能運動到兩個相鄰節(jié)點之間的某一位置。在裂尖從一個節(jié)點移動到下一個節(jié)點的過程中，裂紋長度的突然增加和位移約束的突然解除，將引起有限元求解中比較嚴重的高頻振蕩現象。為了克服這一困難，產生了“回復力”法，Lagrange乘子法，節(jié)點力釋放率法等緩步釋放節(jié)點的方法,下面介紹本文采用的節(jié)點力釋放率法。

在生成模式中，輸入信息包括作為時間函數的裂紋尖端位置，每一時間步長中裂紋前進的距離是已知的。裂紋沿著單元擴展的過程中單元節(jié)點力逐步釋放，此時，能量釋放率G，即在裂端區(qū)每單位面積上裂紋擴展所引起的能量變化，可以近似地以節(jié)點力作功的形式表示:

式中，h是管壁厚度，是沿裂紋擴展方向的一個單元長度，△t是裂紋擴展一個單元所用的時間，v_n是垂直裂紋擴展方向的節(jié)點位移速度，系數2表示管道對稱計算的兩個部分。

在公式（2-38）中，F是被釋放的約束力，它的大小隨著裂紋在單元邊界上的位置呈線性變化，表示為：

式中的F_o是被釋放的節(jié)點約束力，a（t）是裂紋在單元上的擴展長度。指數c曾取過1/2、1、3/2、2等不同取值。本文在與實驗對比的基礎上取1。

2.2.2.3  裂紋驅動力G的能量表達

能量平衡方法計算裂紋驅動力基于Griffiths斷裂理論。在本章的計算程序中，外力作功和內部能量的平衡常被用來校核計算結果的數值穩(wěn)定性，也可將算得的能量值帶入Irwin-Orowan能量平衡公式計算裂紋驅動力。該方法與節(jié)點力釋放法更為簡便。

Griffiths奠定了斷裂問題的能量平衡理論。在裂紋擴展過程中，物體內部能量釋放所產生的裂紋驅動力導致了裂紋增長，同時存在阻止形成新裂紋面積的阻力，當裂紋增長da長度時，二者形成平衡。這樣裂紋驅動力G可以表示為：

式中h表示裂尖處材料厚度，W表示外力作用于裂紋體的功，U表示應變能。

在動裂紋擴展問題中需要考慮動能K的作用，上式擴展為：

早期對流體壓力管道裂紋擴展問題的分析中曾應用應變能變分原理，將裂紋動力等效為裂紋前面環(huán)向應變能的釋放率，Iewin-Conten發(fā)展了裂紋驅動力的解析計算：

式中p₀為初始內壓，D₀和h為管壁外徑和壁厚，E為材料的楊氏模量。

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