3.7.3 齒輪聯(lián)軸器剛度和阻尼的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

（1）齒輪聯(lián)軸器的剛度對系統(tǒng)失穩(wěn)轉速的影響

從圖3.11a可見隨橫向剛度的增大系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速幾乎沒有變化，只有在轉角剛度較大而且橫向剛度較小時，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速才有所變化。圖3.11b表示系統(tǒng)失穩(wěn)轉速隨轉角剛度的變化，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速隨轉角剛度變化顯著。在轉角剛度較小時，幾乎是線性增加。當轉角剛度達到某一值時，失穩(wěn)轉速變化趨緩。進一步的計算表明，當繼續(xù)增大轉角剛度，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速趨于一定值。原因是當轉角剛度增大到某值時，在齒輪嚙合處已接近于一剛性連接的結構，如果繼續(xù)增大轉角剛度則對整體系統(tǒng)的剛度影響不大，因此系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速變化不大。對齒輪聯(lián)軸器而言，一般橫向剛度是比較大的，因此對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速的影響可不予考慮。在轉角剛度較小時，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速隨轉角剛度的增加而增加，所以轉角剛度對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速影響必須予以考慮。轉角剛度與輪齒有效接觸齒寬b的平方成正比，而有效接觸齒寬b主要與聯(lián)軸器的齒形和內外齒間的接觸情況有關，一般而言b值較少，對于修形齒和鼓形齒則更小。關于輪齒的接觸情況則比較復雜，當不考慮輪齒的誤差時，則主要受工況的影響，不同的工況接觸情況不同，即使在同一工況下也會有所變化，因此對于具有情況應區(qū)別對待。

（2）齒聯(lián)軸器的內阻尼對系統(tǒng)失穩(wěn)轉速的影響

從圖3.11c可見在一定的范圍之內，齒輪聯(lián)軸器橫向內阻尼的變化對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速幾乎沒有影響。由圖3.11d可知，隨齒輪聯(lián)軸器轉角內阻尼的增加失穩(wěn)轉速減小，減少的幅度與系統(tǒng)的轉角剛度有關，轉角剛度取大值時，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速變化甚微，而取小值時，則變化明顯。一般而言，對于確定的齒輪聯(lián)軸器類型，如果輪齒間的潤滑充分對中良好，則轉角內阻尼變化不會太大。所以系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速也不會有明顯的變化。但當潤滑不充分，齒輪聯(lián)軸器對中不良時，轉角內阻尼的變化較大，從而會引起系統(tǒng)失穩(wěn)轉速生產較大的變化。

從以上的計算分析可以推出，在工作轉速下，由于齒輪聯(lián)軸器的剛度和內阻尼的影響，會對系統(tǒng)的對數衰減率產生影響，其中尤以聯(lián)軸器的轉角剛度影響最為顯著，究其根本原因是聯(lián)軸器的轉角剛度對系統(tǒng)的負荷分配產生影響，從而引起軸承特性的變化進而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于實際的軸承—轉子系統(tǒng)，在輕載時，由于傳遞的扭矩較小，引起內外齒輪之間的摩擦力和摩力矩較小，但此時內外齒輪之間的有效接觸長度也較小，這樣聯(lián)軸器的轉角剛度變小，因此容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。而在重載時，內外齒輪之間的有效接觸長度變大，轉角剛度隨之迅速增大，此時雖然摩擦也有所增大，但就總體而言系統(tǒng)的失穩(wěn)反而有可以不易發(fā)生。

傳統(tǒng)認為齒輪聯(lián)軸器對軸承—轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響主要是由于它的內摩擦或內阻尼特性。通過以上的分析，可以得出這樣的結論：齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，是其動力特星的綜合反應，并非只是其中的內阻尼。從影響的程度來看，以轉角剛度影響最大；在一定的條件下轉角內阻尼也會產生一定的影響，即作用于聯(lián)軸器上的彎矩是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要原因。橫向剛度和橫向內阻尼對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響不大，即作用于聯(lián)軸器上的橫向剪切作用可以不計。

3.7.4 轉子外伸端的幾何參數對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

在實際的轉子系統(tǒng)設計中，外伸端的長度是一個重要的幾何參數，文獻[5]認為應該盡量取短一些。下面仍以上述系統(tǒng)進行計算，其中取無量綱值K_l=19.78，K_a=0.128。不考慮聯(lián)軸器內阻尼，其它參數不變。表3.6列出圖3.6所示軸承—轉子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)在外伸端長度增大一倍時，#1軸承和#2軸承的剛度和阻尼系數。

*注：括號（）內的值為L₃=L₅=1.67時，相應的軸承動特性系數。

比較表3.6中的數值，增加外伸端的長度使#1軸承的油膜剛度系數和阻尼系數增大，而#2軸承的油膜剛度系數和阻尼系數則相應地要減小。從理論上講，對于這類轉子系統(tǒng)（以圖3.6中齒輪聯(lián)軸器左側的軸承—轉子為例）是一典型的外伸梁結構，如果改變外伸端的長度，將使#1軸承和#2軸承的負荷分配發(fā)生變化，進而影響軸承的動特性系數。但一般而言，轉子系統(tǒng)的質量要元大于聯(lián)軸器的質量，因此外伸端長度的改變對軸承的負荷分配影響不大，因此動特性系數的變化也不大。

表3.7是轉子外伸端的長度增加一倍時各轉速下系統(tǒng)的復特征值。從中可以看出系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速雖然減小，但減小不多。對低階特征值影響不大，但對高階特征值有一定的影響。在實際工程中，許多系統(tǒng)失穩(wěn)首先在低階發(fā)生，此時適當改變外伸的長度不會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產生明顯影響；而當系統(tǒng)失穩(wěn)有可能在較高階發(fā)生時，增加外伸端長度會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產生不利影響。

表3.7 L₃=L₅=3.33時系統(tǒng)的特征值

相對工作角速度Ω/ωk	No.	i=u/Ω+iv/Ω
1.00000	1 2 3 4	-0.13644D-01+i0.63999D+00 -0.17115D-01+i0.71224D+00 -0.19071D-01+i0.72955D+00 -0.46959D-01+i0.82386D+00
1.26317	1 2 3 4	-0.29851D-04+i0.51157D+00 -0.26953D-02+i0.52827D+00 -0.15519D-01+i0.56229D+00 -0.44809D-01+i0.64717D+00
1.26417	1 2 3 4	0.47588D-05+i0.51119D+00 -0.26361D-02+i0.52789D+00 -0.15513D-01+i0.56184D+00 -0.44790D-01+i0.64663D+00

一些軸承—轉子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)為了降低左右轉子間的耦合作用，將轉子外伸端的直徑縮小，下面對此作一簡討論。設系統(tǒng)的其它參數不變。外伸端的無量綱直徑由原來的D₃=D₅=1.0變?yōu)镈₃=D₅=0.667，即外伸端的直徑減小到原來的三分之二。計算結果分別由表3.8和表3.9給出。

#1和#2軸承剛度和阻尼系數的變化趨勢與增大外伸端的長度相同，變化幅度稍大。縮小轉子外伸端的直徑也使系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速降低，降低的幅度也不很大，但轉子直徑的減小會嚴重影響到整體系統(tǒng)的扭轉剛度和強度，因此在系統(tǒng)設計時應綜合考慮各種因素的影響。

表3.8 D₃=D₅=0.667時軸承的動特性系數（n=3000rpm）

注：括號（）內的值為D₃=D₅=1.0時，相應的軸承動特性系數。

表3.9 D₃=D₅=0.667時系統(tǒng)的特征值

相對工作角速度Ω/ωk	No.	i=u/Ω+iv/Ω
1.00000	1 2 3 4	-0.15511D-01+i0.62338D+00 -0.12541D-01+i0.63177D+00 -0.17169D-01+i0.70317D+00 -0.38389D-01+i0.74726D+00
1.24220	1 2 3 4	-0.42456D-04+i0.50905D+00 -0.22512D-03+i0.51325D+00 -0.15685D-01+i0.56461D+00 -0.34419D-01+i0.59737D+00
1.24320	1 2 3 4	0.42574D-05+i0.50867D+00 -0.18903D-03+i0.51285D+00 -0.15679D-01+i0.56415D+00 -0.34404D-01+i0.59688D+00

3.7.5 齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)臨界轉速的影響

文獻[8]指出，在實際的大化肥透平壓縮機組振動中，由于轉子軸承系統(tǒng)臨界轉速計算不準確，安全裕度不足而產生共振的現(xiàn)象。這從一個側面反映出這類系統(tǒng)的設計和計算存在問題。

經計算可知，聯(lián)軸器的橫向剛度、橫向阻尼和轉角阻尼對系統(tǒng)臨界轉速的影響不大，但轉角剛度有較大的影響，在工作范圍之內的臨界轉速見表3.10，其中包括了同步正向渦動和同步反向渦動時的臨界轉速。為便于比較，表3.10同時給出了用單軸分析法和等效軸法分析計算得到的系統(tǒng)的臨界轉速。從表中的數值來看，轉角剛度K_a對系統(tǒng)的臨界轉速的影響是比較大的�？偟膩碚f，隨轉角剛度K_a的增大，各階臨界轉速增大。K_a的取值與齒輪聯(lián)軸器內外齒輪間的接觸情況密切相關，在其它一些因素一定時，K_a取小值表示承載較小，而K_a取大值則表示承載較大，因此在具有齒輪聯(lián)軸器耦合的系統(tǒng)中，臨界轉速會隨工況的變化而發(fā)生變化。從表中還可以看出用單軸分析法和用等效軸法計算得的系統(tǒng)臨界轉速值分別是二種極限情況，用這二種方法進行分析計算會產生不小的偏差，而且也不能反應出工況的變化，因此在實際工程中，有可能出現(xiàn)轉子系統(tǒng)的工作轉速與臨界轉速之間裕度不足問題[8]。另外，實際系統(tǒng)是非常復雜的，即使同一類型的系統(tǒng)，也由于制造、安裝等會引起K_a發(fā)生一定變化，從而也會引起系統(tǒng)臨界轉速發(fā)生變化。

在K_a=0.0和K_a=0.128二種工況下，計算了圖3.6所示系統(tǒng)，轉子外伸端幾何參數變化對系統(tǒng)的臨界轉速的影響，結果分別見表3.11和表3.12�？梢钥闯鲈谕�一工況下，臨界轉速變化不大。

表3.10 在工作轉速范圍之內的臨界轉速

表3.11 外伸端直徑變化對臨界轉速的影響（D₃=D₅=0.667,L₃=L₅=1.67)

表3.12 外伸端長度變化對臨界轉速的影響（D₃=D₅=1.0,L₃=L₅=3.33)

3.7.6 齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)不平衡響應的影響

設僅在左側圓盤處存在一質量偏心，其中無量綱偏心距為1.1×10^-4。在4個軸承處的不平衡響應如圖3.12所示。

用單軸分析法計算不平衡響應，在#1和#2軸承上產生的振幅最大，等效軸法則最小，而在#3軸承和#4軸承上產生的振幅則正相反。其中用單軸分析法計算不平衡響應，在#3和#4軸承處不產生振動，這與實際情況不符；用等效軸法計算，則明顯夸大了二側轉子的耦合作用，沒有體現(xiàn)出齒輪聯(lián)軸器的特點。因此采用單軸分析方法和等效軸方法計算系統(tǒng)的不平衡響應均存在不小的誤差。通過上面的計算可見，隨著轉角剛度的增大，左側轉子的不平衡量對本身轉子支承軸承所激起的響應幅值明顯減小，對右側轉子支承軸承所激起的響應幅值則明顯增大。

系統(tǒng)其它的參數不變，僅改變轉子外伸端的幾何參數，計算結果見圖3.13。圖中符號的意義如下：1—D₃=D₅=1.0，L₃=L₅=1.67，即懸臂端的直徑和長度均保持不變；2—D₃=D₅=0.667，L₃=L₅=1.67，即懸臂端的直徑減小，長度不變；3—D₃=D₅=1.0，L₃=L₅=3.33，即懸臂端的直徑不變，長度增大。

從上面的計算可見，在給定的條件下，轉子外伸端的幾何參數對在#1、#2軸承處的不平衡響應影響不大；對#3、#4軸承處的不平衡響應有影響，但量級較小，因此可以認為外伸端的幾何尺寸對系統(tǒng)的不平衡響應影響較小。

3.8 小結

本章根據拉格朗日方程，完整地推導了齒輪聯(lián)軸器在對中時，軸承—轉子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運動微分方程，并從理論上闡明了齒輪聯(lián)軸器的內阻尼引起自激振動的機理。應用上述模型對軸承—轉子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)進行了數值模擬，結論如下：

（1）用傳統(tǒng)的單軸分析法和等效軸法來計算系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速，結果會出現(xiàn)偏差。單軸分析法使失穩(wěn)轉速降低而偏于保守，等效軸法則偏高不安全。

（2）作用于齒輪聯(lián)軸器上的彎矩是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要原因。在對中良好并且潤滑充分時，齒輪聯(lián)軸器的橫向剛度、橫向阻尼和轉角阻尼對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速影響不十分明顯，而轉角剛度對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速影響較大。

（3）用單軸分析法和等效軸法計算系統(tǒng)的臨界轉速和不平衡響應均會出現(xiàn)較大的誤差。單軸分析法忽視了齒輪聯(lián)軸器對二側轉子的耦合作用，而等效軸法則過分夸大了這種作用。

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