2.2.4 半齒輪聯(lián)軸器的剛度主要與內(nèi)外齒輪齒對(duì)的剛度以及輪齒的位置有關(guān)[34]。不計(jì)輪體的變形。齒對(duì)剛度K_T=l/q，其中q為內(nèi)齒、外齒柔度之和，計(jì)算可采用式（2.21）。

（1）橫向剛度系數(shù)k_l

設(shè)在ξ方向給小位移△ξ，見圖2.6，則彈性位移為d_si=△ξ|cos（θ_i-α）|，產(chǎn)生的彈性力F_si=K_Td_si

式中 θ_i=2iπ/n

α—壓力角

n—齒數(shù)

（2）轉(zhuǎn)角剛度系數(shù)k_a

在外載荷較大時(shí)，則齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒面之間接觸良好。設(shè)齒面上的載荷是線性分布，其集度分別為q₁、q₂，如圖2.7所示。在繞η方向給一小轉(zhuǎn)角△δ，則在第i個(gè)齒對(duì)產(chǎn)生的扭矩為M_ηi。b是穩(wěn)態(tài)時(shí)內(nèi)外齒之間的有效接觸齒寬。

由式（2.28）可見，半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角剛度k_a與接觸齒寬b的平方成正比。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)，接觸齒寬b會(huì)隨內(nèi)外齒輪間的相對(duì)轉(zhuǎn)角而發(fā)生變化，因此轉(zhuǎn)角剛度是轉(zhuǎn)角的非線性函數(shù)。但在穩(wěn)態(tài)和小振動(dòng)的前提下，可以進(jìn)行線性化處理。如果在載荷較輕時(shí)，齒面間的接觸不緊密，可采用Marmol模型，見圖2.8。

Marmol的轉(zhuǎn)角剛度模型[34]為

*注：（2.28b）式在文獻(xiàn)[34]中推導(dǎo)有誤。

（3）扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)k_t

設(shè)繞z方向給一小扭轉(zhuǎn)角△θ，如圖2.9所示，則在第i對(duì)齒對(duì)上產(chǎn)生的扭矩為△M_ci，設(shè)r_p為節(jié)圓半徑。則有

2.4.3 半齒輪聯(lián)軸器的阻尼

齒輪聯(lián)軸器中的阻尼主要是由于內(nèi)外齒面之間的滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生，工作時(shí)在其中注滿潤滑油，以減小齒面間的摩擦。在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中，由摩擦而產(chǎn)生的阻尼大多采用等效粘性阻尼的方法來計(jì)算[34]，即一周內(nèi)向接觸面上的摩擦力消耗的能量等于等效粘性阻尼在同一周內(nèi)所消耗的能量。齒輪聯(lián)軸器在振動(dòng)時(shí)，內(nèi)外齒輪軸線將發(fā)生渦動(dòng)，而不是在一個(gè)橫向平面內(nèi)振動(dòng)，因此每個(gè)接觸的齒對(duì)間均要發(fā)生摩擦，并假設(shè)各個(gè)齒對(duì)情況相同。

（1）橫向阻尼系數(shù)c_l

設(shè)內(nèi)、外齒輪軸線間有一相對(duì)橫向振幅δ₀，如圖2.10所示，則第i對(duì)齒面相對(duì)滑動(dòng)的位移為δ_i=δ₀/cosα，齒面滑動(dòng)摩擦力為F_f=fT/r_pncosα，其中f為齒面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，第i對(duì)齒對(duì)上的摩擦力消耗的能量為E_i=4F_fδ_i

式中 ω為振動(dòng)角速度

上式分母中的系數(shù)2是因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)一周要在ξ，η兩個(gè)方向均要消耗能量。

（2）轉(zhuǎn)角阻尼系數(shù)c_a

設(shè)內(nèi)、外齒輪軸線間有一相對(duì)轉(zhuǎn)角振幅ε₀，如圖2.11所示，在齒z處dz上的摩擦力，此處的位移為zε₀/cosα。

第i對(duì)齒對(duì)上的摩擦力消耗的能量

（3）扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)c_t

設(shè)內(nèi)、外齒輪有一相對(duì)扭轉(zhuǎn)振幅θ₀，如圖2.12所示，則第i對(duì)齒面間相對(duì)滑動(dòng)位移為δ_i=r_pθ₀sinα。第i對(duì)齒對(duì)上的摩擦力消耗的能量為

以上建立了齒輪聯(lián)軸器的剛度和等效粘性阻尼系數(shù)。

2.5 作用在齒輪聯(lián)軸器上彎矩的實(shí)驗(yàn)研究

山內(nèi)進(jìn)吾等[31]對(duì)作用于鼓形齒輪聯(lián)軸器上的彎矩（M_x-φ）進(jìn)行了實(shí)測，對(duì)直齒聯(lián)軸器卻沒有論及。而目前在實(shí)際的高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)（例如在DH型和大化肥用透平壓縮機(jī)組）中主要采用的是直齒聯(lián)軸器。在后面的分析計(jì)算中，我們將發(fā)現(xiàn)齒輪聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度對(duì)系統(tǒng)的影響較大，因此有必要對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。通過對(duì)作用于齒輪聯(lián)軸器上彎矩的測試結(jié)果，來判斷齒輪聯(lián)軸器轉(zhuǎn)角剛度的大小，這樣可以在實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，結(jié)合理論分析對(duì)聯(lián)軸器的動(dòng)力特性作出比較合理的選擇。為此我們設(shè)計(jì)了如圖2.13所示的試驗(yàn)裝置，取二個(gè)齒輪聯(lián)軸器，其中一個(gè)為直齒聯(lián)軸器（內(nèi)齒套、外齒輪均為直齒），另一個(gè)為鼓形齒聯(lián)軸器（內(nèi)齒套為直齒、外齒輪為鼓形齒）。對(duì)這二種齒輪聯(lián)軸器分別測量其FM_x-φ的變化關(guān)系。通過這個(gè)關(guān)系可以判定內(nèi)外齒之間的有效接觸齒寬及聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度。

2.5.1 測試系統(tǒng)簡介

齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)齒套固定在一個(gè)三爪卡盤上，聯(lián)軸器的外齒輪插入內(nèi)齒套與之相嚙合。采用3個(gè)電渦流傳感器，傳感器的布置見圖2.13，試驗(yàn)臺(tái)的實(shí)拍照片見圖2.14。中間軸的一端與外齒輪固接，而另一端則用于施加扭矩和施加繞X方向的彎矩。扭矩和彎矩的大小由法碼的重量和桿或軸的長度來確定。作用于聯(lián)軸器上的扭矩

T=P·L₁                                 （2.36）

式中 P為扭矩加載中法碼的重量，L₁為桿的長。

作用于聯(lián)軸器上的彎矩

M_x=F·L₂                                 （2.37）

式中 F為彎矩加載中法碼的重量，L₂為中間軸的長度。

在實(shí)驗(yàn)時(shí)通過改變法碼的重量P和F的大小來控制扭矩和彎矩的變化。這樣再經(jīng)過傳感器、顯示器等可以得到各測點(diǎn)在z方向的位移z，測點(diǎn)的位移變化

△z=z-z₀                                 （2.38）

式中 z₀為測點(diǎn)在z方向的初始位移。

由于齒輪聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角位移變化△φ較小，故有

△φ≈△z/r_p                                 （2.39）

齒輪聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角位移

φ=φ₀+△φ                                 （2.40）

式中 φ₀為齒輪聯(lián)軸器的初始轉(zhuǎn)角位移

根據(jù)作用于外齒輪上的彎矩和在內(nèi)齒套測點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角，就可以作出在某一工況下M_x-φ的關(guān)系曲線，進(jìn)而可以求出齒輪聯(lián)軸器在該工況下的轉(zhuǎn)角剛度。

2.5.2 測試結(jié)果及分析

試驗(yàn)用齒輪聯(lián)軸器參數(shù)如下：

直齒齒輪聯(lián)軸器：模數(shù)m=2.0mm；齒數(shù)n=20；實(shí)際齒寬B=15mm；壓力角α=20°。選擇二種扭矩工況進(jìn)行測試T₁=4.0kg·m，T₂=5.5kg·m。

鼓形齒齒輪聯(lián)軸器：模數(shù)m=2.0mm；齒數(shù)n=20；實(shí)際齒寬B=15mm；壓力角α=20°。鼓形量為96；選擇二種扭矩工況進(jìn)行測試T₁=3.0kg·m，T₂=5.5kg·m。

直齒聯(lián)軸器和鼓形齒聯(lián)軸器的測量結(jié)果，M_x-φ的關(guān)系曲線分別見圖2.15和圖2.16。橫坐標(biāo)為齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪相對(duì)轉(zhuǎn)角位移，縱坐標(biāo)為繞X軸的彎矩M_x。

（1）從M_x-φ之間的關(guān)系圖來看不論是直齒聯(lián)軸器還是鼓形齒聯(lián)軸器都明顯存在遲滯現(xiàn)象，即在某一處扭矩作用下，彎矩M_x從加載→卸載→反向加載→反向卸載的過程，M_x-φ之間形成一條有規(guī)律的封閉曲線，這主要是在加載和卸載的過程中由于齒面間的摩擦力方向的改變所造成的，在山內(nèi)進(jìn)吾[31]的實(shí)驗(yàn)中也明顯存在。在同一扭矩作用下，直齒聯(lián)軸器進(jìn)行了二個(gè)從加載到卸載的過程，鼓形齒聯(lián)軸器則進(jìn)行了四個(gè)這樣的過程。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，就總體而言重復(fù)性較好。

（2）隨著彎矩M_x的增大，轉(zhuǎn)角φ增大。對(duì)于直齒聯(lián)軸器而言，M_x-φ的關(guān)系是非線性的；對(duì)于鼓形齒聯(lián)軸器來說，M_x-φ的關(guān)系可以近似看成為線性的。從理論上來看，之所以出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象是因?yàn)楣男锡X聯(lián)軸器內(nèi)外齒面間的有效接觸寬度對(duì)轉(zhuǎn)角的變化不敏感，而直齒聯(lián)軸器則比較敏感。由于作用在聯(lián)軸器上的扭矩較小，因此內(nèi)外齒間可能出現(xiàn)跨齒接觸情況，當(dāng)轉(zhuǎn)角φ增大時(shí)，接觸齒寬增大，轉(zhuǎn)角剛度也增大，從而造成直齒聯(lián)軸器M_x-φ之間的關(guān)系是非線性的。

（3）比較圖2.15a和2.15b、圖2.16a和2.16b可知。隨扭矩T的增大，遲滯回線所圍的面積增大，表明在同一周內(nèi)齒面間的摩擦力（力矩）隨扭矩T而增大，這與實(shí)際情況相符。

（4）由上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，不論是直齒聯(lián)軸器還是鼓形齒聯(lián)軸器，在一定的條件下，聯(lián)軸器所產(chǎn)生的彎矩M_x不大，這從另一個(gè)側(cè)面反應(yīng)了齒面之間的有效接觸齒寬是比較小的。

（5）對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器在加載階段轉(zhuǎn)的平均轉(zhuǎn)角剛度k_a進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如下：在T=3.07kg·m時(shí)，k_a≈9.2×10⁴kg·mm；在T=5.50gk·m時(shí)，k_a≈1.1×10⁵kg·mm。對(duì)于直齒聯(lián)軸器M_x-φ的關(guān)系呈現(xiàn)出非線性，轉(zhuǎn)角剛度k_a即為曲線的斜率，從圖2.15可知轉(zhuǎn)角剛度k_a是變化的。在轉(zhuǎn)角取大值時(shí)，k_a值較大；在轉(zhuǎn)角取小值時(shí)，k_a值比較小。為了便于比較，在此對(duì)文獻(xiàn)[31]中（其中參數(shù)為：鼓形齒輪聯(lián)軸器模數(shù)為2.5，齒數(shù)為35，T=15.0kg·m，鼓形量為113～140微米）的測試結(jié)果也進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果為k_a≈9.1×10⁵kg·mm，造成二者結(jié)果的差距主要是外載荷和由于齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)的不同而引起齒對(duì)剛度具有相當(dāng)大的差別，但從總體來說這一轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角剛度的數(shù)量級(jí)不大。因此在實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析中，齒輪聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度應(yīng)取一小量。

2.6 小結(jié)

首先根據(jù)內(nèi)嚙合的特點(diǎn)，本章提出了適合內(nèi)嚙合齒輪輪齒變形和剛度計(jì)算的二梯形當(dāng)量齒形法，導(dǎo)出了上下二個(gè)梯形的彎曲變形、剪切變形、由輪齒基體的彈性傾斜所引起的輪齒變形以及輪齒材料整體壓縮變形的計(jì)算公式，并將其應(yīng)用到齒輪聯(lián)軸器的剛度分析中，通過實(shí)例計(jì)算和有限元法分析，結(jié)果表明用二梯形當(dāng)量齒形法來計(jì)算齒輪聯(lián)軸器齒對(duì)的剛度具有良好的精度，能滿足工程計(jì)算要求。然后對(duì)齒輪聯(lián)軸器進(jìn)行了受力分析，根據(jù)幾個(gè)基本的假設(shè)，用橫向剛度、轉(zhuǎn)角剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、橫向阻尼、轉(zhuǎn)角阻尼和扭轉(zhuǎn)阻尼這六個(gè)動(dòng)力系數(shù)來刻劃齒輪聯(lián)軸器的動(dòng)力學(xué)行為。最后通過對(duì)作用于直齒和鼓形齒這二種聯(lián)軸器上的彎矩進(jìn)行了實(shí)測。研究結(jié)果顯示對(duì)于鼓形齒齒輪聯(lián)軸器而言轉(zhuǎn)角與彎矩近似為線性關(guān)系，而對(duì)于直齒齒輪聯(lián)軸器這一關(guān)系則是非線性的。但就總體頁言在外載荷和轉(zhuǎn)角均較小時(shí)，聯(lián)軸器上作用的彎矩和轉(zhuǎn)角剛度均不大。

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