油膜浮動均載機構的幾何關系如圖3-2和圖3-3所示
下面以圖3-2和圖3-3所示的內層油膜浮動為例進行推導。
h=C(1+εcosθ)
這里，U=ωr。
盡管這種簡化處理與實際不完全相符，但這樣做有兩個好處：一是如不進行簡化，就會帶來極大的復雜化；二是使設計更為安全。
3.6方程的求解
對于普遍形式的Reynolds方程，僅具有特殊間隙形狀的問題才能求得解析解。而對于復雜的幾何形狀或工況條件下的潤滑問題，根本無法用解析方法，求解，電算技術使得數值解法成為潤滑問題求解的有效途徑。本文應用對于線性橢圓型問題最優(yōu)化的數值方法一多重網格方法求解Reynolds方程。
3.6.1多重網格方法
多重網格方法的思想早在30年代就有人提出，但真正廣泛應用于工程技術問題是在1977年Brandt教授發(fā)表他的開創(chuàng)性文章“邊值問題多重網格適應解之后才開始的。由于多重網格方法求解細網格層上離散方程的總計算量與最細網格層節(jié)點數成正比，即W=O（Nl），這一指標從根本上克服了經典迭代法解離散方程的工作量一般為W=O（Nl2～W=O(Nl3)這個缺點，且多重網格方法的斂速與h無關這一特性又從根本上克服了經典迭代法的斂速與h有關，越細所需迭代步越多，Ωl越細所需迭代步越多，斂速越慢這個缺點。如今，多重網格方法已被廣泛應用于各門學科和各種工程技術問題中，并取得了許多研究成果。文獻將多重網格方法用于求解動載荷滑動軸承的潤滑問題，并取得了成功。用多重網格方法求解潤滑方程，在滿足精度的條件下，較Gauss-Seidel等經典方法收斂速度快，節(jié)省計算機時間，而且求解可靠，是一種很有應用前景的求解大型代數方程組的數值迭代法。
考慮線性二階橢圓邊值問題（以兩層網格為例說明）
Lu=f （Ω） （3-30）
Ω是一個給定的連續(xù)域，L是Ω上的線性橢圓微分算子矩陣，u為要求方程Lu=f的解，右端項f為已知的量。用上標h和H別表示細網格和粗網格，將上式在連續(xù)域Ω上離散，其在細網格和粗網格離散的差分方程分別為
Lhuh=fh （Ωh） （3-31）
設差分方程的粗確解為uh，差分方程的迭代解為
，以?h為初值，在細網格上對Lhuh=fh做v1次迭代，得近似值和殘差rh
rh=fh-Lh （3-33）
定義：
rh=Lhvh （3-34）
有：
?fh=Lh+Lhvh （3-35）
這樣：
uh=+vh （3-36）
修正項vh不是在細網格上計算的，而是在粗網格上根據下式求得的。
LHvH=IhHrh （3-37）
這里，IhH是從細網格到粗網格的限制算子，一般選用全權限制算子。
上述過程重復進行，直至在最粗網格上得到滿足精度要求的精確解。
圖3-4所示為三層網格上的一個循環(huán)的具體計算步驟。
圖3-5所示為l個網格層上利用V循環(huán)求解離散方程（3-31）式計算框圖。
3.6.2 差分方程
由于將有量綱方程化為無是綱形式后，方程形式主得簡單，便于計算，而獲得的結果又便于推廣到與此軸承相似的各類尺寸的軸承，故，有必要將雷諾方程無量綱化。
為了求解雷諾方程，將油膜壓力區(qū)展成一矩形域，用無量綱形式的
和油膜角θ分別表示矩形域的寬和長。并將該求解區(qū)域離散成若干個相等的矩形網格�？紤]到油膜壓力在軸的寬度方向對稱分布，即：方程的解關于=0對稱，因而，油膜壓力區(qū)只需計算一半即可。
在［0,l］區(qū)間n等份，在［0,2π］區(qū)間m等份，即可構造出方程（3-40）的（i，j）離散差分方程：
Lk
=fk (3-41)
其邊界條件為： (i,n)=0,(i+m,j)=(i,j)
該方程滿足多重網格方法的條件，可用多重網格方法求解。
3.6.3 油膜承載能力的計算
若液體壓力以解析表達式給出，油膜浮動的承載能力可由3-10和3-11式直接積分求得。但由于本節(jié)方法求出的壓力是離散值，其承載能力需用數值積分求解。本文通過采用Simpson 積分公式的方法，分別沿周向和軸向迭加求值。
沿周向的一般情形的復合Simpson積分公式為：
3.6.4 計算結果的討論
根據上面的計算公式，筆者編寫了油膜壓力分布和油膜浮動時的承載能力FORTRAN計算程序。計算中所采用的是V循環(huán)，網格層數為6，最粗網格數為：12×2，最細網格數為：64×384。計算的部分結果如圖3-6和圖3-7所示。
由圖3-6可看出，相同浮動套長度時，圓周上的壓力隨著偏心率的增大而增大，且在壓力最大值時的變化幅度較大。另外，計算還證明：在偏心率相同的條件下，圓周上的壓力隨著浮動套長度增大而增大。
由圖3-7可看出，油膜浮動時的壓力沿軸向近似成拋物線形狀，但在不同的角度下其值則是不同的。
表3-1 不同的工況下軸膜浮動的承載能力
| 偏心率 |
ε1=0.7 |
ε2=0.8 |
ε3=0.9 |
| 油膜承載力P（N） |
3768 |
8236 |
34486 |
筆者的結果表明，在偏心套長度確定的條件下，油膜浮動時油膜的承載力主要取決于偏心率，筆者設計的油膜浮動均載裝置便是以此為基礎。
3.7 本章小結
本章在對兩級三環(huán)減速器的主要制造安裝誤差進行系統(tǒng)分析的基礎上，依據流體動力潤滑理論研究了兩級三環(huán)減速器油膜浮動均載機理，建立了偏心轉動和動載荷工況下兩級三環(huán)減速器油膜浮動時的流體動力潤滑方程，采用多重網格方法和Simpson 積分公式對樣機油膜浮動的承載能力進行了計算。均載的目的就是要減少或消除制造安裝誤差的影響，為此，本章首先對兩級三環(huán)減速器的主要制造誤差進行了系統(tǒng)分析，計算了需補償的位移量。依據流體動力潤滑理論對兩級三環(huán)減速器應用油膜浮動的可行性和三環(huán)減速器油膜浮動的均載機理進行了研究，結果表明：兩級三環(huán)減速器應用油膜浮動進行均載是切實可行的。
依據流體動力潤滑理論，首次建立了偏心轉動及動載工況下三環(huán)減速器油膜浮動的流體動力潤滑方程，為其動力學研究奠定了基礎。
采用多重網格方法和Simpson積分公式對兩級三環(huán)減速器油膜浮動均載時的承載能力進行了計算，計算結果為油膜浮動均載機構參數設計奠定了基礎。
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