3 雙環(huán)減速器環(huán)板內(nèi)齒接觸分析及齒輪系統(tǒng)模態(tài)分析
3.1 雙環(huán)減速器環(huán)板內(nèi)齒接觸有限元分析
因為在少齒差內(nèi)嚙合中，不處于嚙合位置的齒對在進入嚙合之前以及在脫離嚙合之后，其內(nèi)、外齒廓間的間隙非常小，因此雙環(huán)減速器環(huán)板內(nèi)齒輪嚙合傳動在載荷作用下，因彈性變形實際接觸齒對數(shù)遠大于理論重合度，在傳遞載荷的過程中，輪齒的變形量要大于一部分齒對的間隙，這些齒對就要接觸并同時分擔載荷，這就大大提高了整個齒輪傳動裝置的承載能力。同時實際齒輪的接觸對數(shù)及接觸應(yīng)力，隨著載荷增大而相應(yīng)增加。因而少齒差內(nèi)嚙合行星齒輪傳動的實際接觸齒對數(shù)的確定，對齒輪承載能力的估算以及齒輪模數(shù)的正確確定具有重要意義。對于齒輪的接觸問題的，國內(nèi)外學者對此已作了不少研究，取得一些研究成果。然而這些研究有的沒有考慮誤差的影響，有的僅考慮內(nèi)外嚙合齒輪副齒廓理論間隙，沒有考慮輪齒制造誤差和輪齒的彈性變形的影響。本文對于環(huán)板內(nèi)齒輪接觸問題進行了計算，計算時考慮內(nèi)外嚙合齒輪副齒廓理論間隙、制造誤差及輪齒彈性變形的影響，在此基礎(chǔ)上，建立了少齒差內(nèi)嚙合行星齒輪傳動實際接觸齒對數(shù)及各齒間載荷分配的理論分析計算的實體模型，利用I-DEAS軟件進行了環(huán)板內(nèi)齒輪接觸有限元計算，并用該軟件分析計算了在不同載荷工況下的實際接觸齒對數(shù)、最大接觸應(yīng)力以及兩環(huán)板上各接觸齒的載荷分配情況。
3.1.1 誤差對直齒內(nèi)嚙合傳動重合度的影響分析
通常，內(nèi)嚙合漸開線齒輪的理論計算是按無側(cè)隙的情況設(shè)計的，但要保證齒輪傳動靈活，不發(fā)生卡滯，必須保留足夠的齒側(cè)間隙，在實際制造與安裝中齒輪系統(tǒng)都必然存在尺寸誤差，這些誤差直接影響著齒輪傳動的精度、齒輪的強度和振動噪聲。
眾所周知，內(nèi)嚙合直齒圓柱齒輪傳動的理論重合度為：
設(shè)內(nèi)齒直齒輪傳動的齒輪模數(shù)為m，分度圓壓力角為a，外齒輪齒數(shù)為Z1，內(nèi)齒輪齒數(shù)為Z2，外、內(nèi)齒輪變位系數(shù)分別為X1、X2，外、內(nèi)齒輪變位系數(shù)分別為S1′、S2′，外、內(nèi)齒輪節(jié)圓上的齒槽寬分別為e1′、e2′，兩嚙合齒輪節(jié)圓上的圓周側(cè)隙為jt，兩嚙合齒輪非工作側(cè)齒廓沿公法線方向的側(cè)隙（法向側(cè)隙）為jn。顯然有
jn=jtcosα′=(e2′-s1′)cosα′ （3.2）
聯(lián)系式3.6與式3.8，從兩工中可以看出，計算中心距a′與嚙合角α′是一一對應(yīng)關(guān)系，這樣式3.6可以表達為三種形式：
（1）由確定的齒側(cè)間隙jn與齒輪變位系數(shù)X2-X1來求中心距a′；
（2）由確定的中心距a′與齒輪變位系數(shù)X2-X1來求齒側(cè)間隙jn；
（3）由確定的齒側(cè)間隙jn與中心距a′來求齒輪變位系數(shù)X2-X1。
當齒輪傳動的幾何設(shè)計參數(shù)確定后，影響實際傳動的就只有制造和安裝誤差，對于中心距a′而言，影響它的因素是制造誤差、安裝誤差，而不是齒側(cè)間隙jn與齒輪變位系數(shù)X2-X1。齒輪設(shè)計是按無側(cè)隙進行的，同時不考慮制造、安裝誤差，但加工時，齒輪齒厚公差都是負偏差，即齒輪厚公差都是負偏差，即齒輪必須減薄，這樣實際傳動存在齒側(cè)隙。如果不考慮中心距的誤差，由式3.6的第3種形式可知，齒側(cè)隙的變化必然影響到齒輪變位系數(shù)的變化。顯然，這樣的變化也就會使齒輪的齒頂圓產(chǎn)生變化，相應(yīng)的齒頂圓奢力角產(chǎn)生變化，進而影響齒輪嚙合重合度。
由式3.5變化為
本文實驗樣機的環(huán)板齒輪設(shè)計參數(shù)見表3.1所示，根據(jù)本文實驗樣機的環(huán)板齒輪設(shè)計參數(shù)，假定嚙合角不變化，則對應(yīng)齒側(cè)隙的變化，應(yīng)用MATLAB繪圖分析，得到了齒輪變位系數(shù)隨齒側(cè)隙變化時的變化規(guī)律圖，見圖3.1所示。
表3.1 內(nèi)嚙合齒輪參數(shù)表
|
外齒輪 |
環(huán)板內(nèi)齒 |
模數(shù) |
2 |
齒數(shù) |
56 |
58 |
嚙合角 |
39.039° |
變位系數(shù) |
1.37 |
1.685 |
齒頂高系數(shù) |
0.7 |
中心距 |
2.42 |
齒頂圓直徑 |
119.519 |
120.774 |
計算重合度 |
1.124 |
由3.2圖可以看出，當齒側(cè)隙jn由0變化至.25毫米時（查資料取較大最小側(cè)隙參考值），齒輪變位系數(shù)差X2-X1的變化量由近0.32變化到0.50，變化了約0.18。
對于齒頂圓直徑按德國工業(yè)標準DIN的簡單方法有：
da1=m(z1+2ha*+2x1) （3.10）
da2=m(z2+2ha*+2x2) （3.11）
由式3.10、3.11可以看出，當總變位系數(shù)xΣ=x2-x1產(chǎn)生變化時，必然引起起嚙合齒輪齒頂圓直徑的變化。按X1、X2變化最小原則，有三種可能性，即X1不變，X2變化0～0.18；或X1變化0～0.18，X2不變；或X1變小，X2變大，變化范圍0～0.09。假定齒輪嚙合角不變，按本文實驗樣機參數(shù)，當齒輪變位系數(shù)發(fā)生變化時，其變化量對重合度的影響狀況見圖3.2所示。從圖3.2所示可以看出，隨外齒輪變位變小時，齒輪嚙合重合度減小，隨內(nèi)齒輪變位變小時，齒輪嚙合重合度增大，從圖中的變化趨勢為看，外齒輪變位系數(shù)的變化對重合度的影響程度與內(nèi)齒輪變位系數(shù)的變化對重合度的影響程度大約是相同的，只是趨向是反向的。
對于中心距而言，查資料表35.2-60可知中心距的極限偏差為±0.011mm,假定外齒輪齒頂圓壓力角不變，內(nèi)齒輪齒頂圓壓力角隨變位系數(shù)變化，對于中心距變化對重合度的影響變化趨勢及變位系數(shù)變化對重合度的影響的變化趨勢比較情形見圖3.3。假定內(nèi)齒輪齒頂圓壓力角不變，外齒輪齒頂圓壓力角隨變位系數(shù)變化，對于中心距變化對重合度的影響變化趨勢及變位系數(shù)變化對重合度的影響的變化趨勢比較情形見圖3.4所示。
從圖3.3、3.4明顯看出中心距變化對重合度的影響程度明顯小于變位系數(shù)變化對重合度的影響程度。
齒輪制造誤差中對齒廓間隙影響較大的有最小齒側(cè)間隙、基節(jié)偏差、齒形誤差、齒距偏差、齒厚偏差等等，但這些因素相互關(guān)聯(lián)、相互制約、相互影響，特別是基節(jié)偏差、齒形誤差、齒距偏差、齒厚偏差等最終影響齒側(cè)隙的變化，因此最終影響齒輪傳動的主要因素仍是中心距和齒側(cè)隙的變化。分析圖3.2、3.3、3.4，在允許的制造誤差范圍內(nèi)及最小齒側(cè)隙的情況下，重合度的理論計算值變化不是很大。
3.1.2 接觸分析中制造安裝誤差的引入
從上述分析可知，齒輪的制造、安裝誤差對齒輪嚙合的重合度有一定的影響，但就理論計算值而言，從上面的分析結(jié)果可以看出其影響程度是不大的，然而在少齒差內(nèi)嚙合齒輪副中，嚙合線附近兩相鄰工作齒對齒側(cè)間隙非常小。假設(shè)內(nèi)齒輪固定，當輪齒承擔載荷時，兩接觸輪齒將分別產(chǎn)生彈性變形，外齒輪將繞其軸線旋轉(zhuǎn)一附加角，當這一附加轉(zhuǎn)角足夠大時，除原有接觸齒對繼續(xù)發(fā)生接觸外，相鄰工作齒對的齒側(cè)間隙也會消失，這樣就產(chǎn)生了多齒承載接觸。
在本節(jié)中，引入制造、安裝誤差，用有限元方法計算內(nèi)齒傳動的接觸對數(shù)，同時驗證上節(jié)中討論的影響重合度的關(guān)鍵參數(shù)。用I-DEAS軟件計算環(huán)板內(nèi)齒接觸問題，其關(guān)鍵是齒輪輪齒的實體建模。對于相嚙合的齒輪，因其兩工作齒廓側(cè)面相互位置誤差的變化導致了實際齒廓間隙的變化，在嚙合線附近只有少數(shù)幾對齒在我們討論范圍內(nèi)，這里我們只考慮對齒廓間隙影響較大的最小齒側(cè)間隙、基節(jié)偏差、齒形誤差、齒距偏差、齒厚偏差等。在用用I-DEAS軟件進行齒輪輪齒的實體建模時，對輪齒而言，沿圓周是均勻分布的，因此，齒輪的制造誤差在實體造型時，表現(xiàn)在齒輪輪齒的齒厚及基圓尺寸的誤差上。而經(jīng)多元回歸分析，得出各變量對齒廓間隙的內(nèi)在影響關(guān)系表明：齒輪的基節(jié)偏差是最主要的影響因素。
本文雙環(huán)減速器齒輪加工精度為7級，根據(jù)資料，查得齒輪的基節(jié)極限偏差△fpb為±0.014，對于齒厚極限偏差，根據(jù)資料，查得齒輪齒厚的極限偏差△Es的上偏差為-128μm，下偏差為-192μm，將這些影響因素的極限偏差，通過幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)換，換算到基節(jié)上，通過參數(shù)方程繪出齒輪單個輪齒的輪廓線，再由單個輪齒的齒廓沿圓周接齒輪齒數(shù)均勻復制，這樣得到整個齒輪的齒廓線，由齒廓線延伸成齒輪實體模型。
由于零部件的制造誤差，同時因裝配原因，在進行整體裝配時，產(chǎn)生零部件間的安裝誤差，這些誤差直接影響齒輪間的嚙合狀態(tài)。對于雙環(huán)減速器中的環(huán)板內(nèi)齒輪嚙合傳動，由于環(huán)板內(nèi)齒中心與輸出齒輪中心之間的偏心距尺寸較�。ū疚碾p環(huán)減速器的偏心距為2.42mm)，因此，偏心軸的偏心距制造誤差及中心距制造安裝誤差是影響環(huán)板內(nèi)齒嚙合傳動的關(guān)鍵。本文雙環(huán)減速器兩偏心軸偏心距的制造誤差為±0.011。
綜合以上誤差分析，將環(huán)板與輸出齒輪軸按極限偏差尺寸所定的位置進行輪齒嚙合裝配，然后進行有限元接觸分析。
3.1.3 齒輪有限元模型的建立及邊界條件的確定
環(huán)板內(nèi)齒輪與輸出軸齒輪之間的傳動是直齒輪傳動，為保證進行接觸計算時，有較多的有較接觸區(qū)域，齒輪輪齒部分的有限元網(wǎng)格采用映射網(wǎng)格劃分法（Mapped Meshing）對齒輪進行有限元網(wǎng)格劃分。同時，為保證兩對嚙合齒輪所劃分的網(wǎng)格接觸對相應(yīng)的面能對應(yīng)齊，因此齒輪嚙合的接觸面相應(yīng)應(yīng)當齊整。用輸出軸齒輪的齒頂面所在的輪廓曲面對環(huán)板內(nèi)齒進行劃分（partition 命令），同理用環(huán)板內(nèi)齒的齒頂面所在的輪廓曲面對輸出軸齒輪進行劃分，這樣得到對應(yīng)齊整的齒輪嚙合的接觸面，如圖3.5所示。根據(jù)圖3.5所示，采用映射網(wǎng)格劃分法( Mapped Meshing）進行網(wǎng)格劃分的輪齒部分即是圖中輸出齒輪齒頂圓與環(huán)板內(nèi)齒齒頂圓之間所劃分的部分，而其余部分采用自由網(wǎng)格劃分法（Free Meshing）進行劃分，劃分網(wǎng)格后的部分網(wǎng)格圖見圖3.6所示�？紤]實際接觸齒對數(shù)不會太多，所以每塊環(huán)板上只給出6個輪齒進行接觸計算。環(huán)板嚙合的實際過程是環(huán)板齒輪帶動輸出齒輪運動，計算時為方便，假設(shè)環(huán)板固定不動，設(shè)定輸出軸繞軸線轉(zhuǎn)動，將減速器的輸出功率換算為輸出扭矩，加在輸出軸的輸出端。
3.1.4 接觸計算結(jié)果分析
按考慮偏心距誤差影響及考慮齒厚誤差影響的兩個極限狀態(tài)，組合為十種情況進行計算。十種計算工況見表3.2所示�？紤]齒厚誤差影響的兩個極限狀態(tài)分別是齒輪的輪齒最薄、最厚，偏心距誤差的兩個極限狀態(tài)分別是偏心軸的偏心距最大、最小兩種情況。種接觸情況的計算結(jié)果分別由表3.3～3.7列出。
3.2計算工況列表
| 序號 |
工況說明 |
序號 |
工況說明 |
| 齒厚狀態(tài) |
偏心距狀態(tài) |
兩環(huán)板狀態(tài) |
齒厚狀態(tài) |
偏心距狀態(tài) |
兩環(huán)板狀態(tài) |
| 1 |
最厚 |
無誤差 |
對稱 |
6 |
最薄 |
最大正偏差 |
對稱 |
| 2 |
最薄 |
無誤差 |
對稱 |
7 |
最厚 |
最大負偏差 |
不對稱 |
| 3 |
最厚 |
最大負偏差 |
對稱 |
8 |
最薄 |
最大負偏差 |
不對稱 |
| 4 |
最薄 |
最大負偏差 |
對稱 |
9 |
最厚 |
最大正偏差 |
不對稱 |
| 5 |
最厚 |
最大負偏差 |
對稱 |
10 |
最薄 |
最大正偏差 |
不對稱 |
3.4工況一接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況一 |
200 |
1 |
1 |
75.2 |
| 160 |
1 |
1 |
66.8 |
| 120 |
1 |
1 |
56.1 |
| 80 |
1 |
1 |
41.1 |
| 40 |
1 |
1 |
28.0 |
3.5工況二接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況二 |
200 |
1 |
1 |
75.2 |
| 160 |
1 |
1 |
66.8 |
| 120 |
1 |
1 |
56.1 |
| 80 |
1 |
1 |
41.1 |
| 40 |
1 |
1 |
28.0 |
3.6工況三接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況三 |
200 |
1 |
1 |
68.2 |
| 160 |
1 |
1 |
62.6 |
| 120 |
1 |
1 |
55.1 |
| 80 |
1 |
1 |
40.2 |
| 40 |
1 |
1 |
25.3 |
3.7工況四接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況四 |
200 |
2 |
2 |
74.6 |
| 160 |
2 |
2 |
62.1 |
| 120 |
2 |
2 |
49.0 |
| 80 |
2 |
2 |
41.8 |
| 40 |
1 |
1 |
26.6 |
3.8工況五接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況五 |
200 |
2 |
2 |
2.2 |
| 160 |
2 |
2 |
58.6 |
| 120 |
2 |
2 |
45.6 |
| 80 |
2 |
2 |
42.1 |
| 40 |
1 |
1 |
26.5 |
3.9工況六接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況六 |
200 |
1 |
1 |
76 |
| 160 |
1 |
1 |
63.2 |
| 120 |
1 |
1 |
49.7 |
| 80 |
1 |
1 |
40.5 |
| 40 |
1 |
1 |
28.5 |
3.10工況七接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
| 工況七 |
200 |
1 |
3 |
76 |
| 160 |
0 |
2 |
63.2 |
| 120 |
0 |
2 |
49.7 |
| 80 |
0 |
1 |
40.5 |
| 40 |
0 |
1 |
28.5 |
3.11工況八接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
工
況
八 |
200 |
1 |
2 |
130.0 |
| 160 |
0 |
2 |
114.0 |
| 120 |
0 |
2 |
93.4 |
| 80 |
0 |
2 |
70.2 |
| 40 |
0 |
2 |
39.0 |
3.12工況九接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
工
況
九 |
200 |
2 |
1 |
104.0 |
| 160 |
2 |
0 |
92.6 |
| 120 |
2 |
0 |
86.6 |
| 80 |
2 |
0 |
65.3 |
| 40 |
1 |
0 |
42.8 |
3.13工況十接觸情況計算表
| 誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
| 環(huán)板1 |
環(huán)板2 |
工
況
十 |
200 |
2 |
1 |
136.0 |
| 160 |
2 |
0 |
117. |
| 120 |
2 |
0 |
102.0 |
| 80 |
2 |
0 |
77.4 |
| 40 |
2 |
0 |
47.6 |
由表3.2～3.13可以看出，無論有無制造、安裝誤差的影響，隨著負荷的增加，齒輪實際嚙合接觸對數(shù)增加，但從計算結(jié)果分析證明，負荷對接觸對的影響小于誤差對接觸對的影響。對比表中的接觸對數(shù)和接觸應(yīng)力，數(shù)據(jù)表明當齒厚發(fā)生變化時，實際接觸齒對數(shù)變化比較大，同時最大接觸應(yīng)力也有明顯變化。從變化的趨勢上看出與前面的理論推導變化趨勢相同，這里只是更加明顯。
工況六至工況十這四和情況，是指兩環(huán)板之間不對稱，即偏心軸的兩個偏心拐的尺寸誤差不一致，這里考慮的是特殊狀況，從表3.10－3.13看出，當兩環(huán)板不對稱時，將產(chǎn)生嚴重的載荷不均現(xiàn)象，載荷偏向中心距小的環(huán)板內(nèi)齒上，甚至只有一個環(huán)板承受載荷。由此說明，對于雙環(huán)減速器偏心軸有加工，應(yīng)特別注意兩曲捌的制造誤差，應(yīng)盡量使安裝好的兩環(huán)板具有較好的對稱性。圖3.7～圖3.12為六種工況下環(huán)板內(nèi)齒的接觸齒對的應(yīng)力云圖。
3.2 雙環(huán)減速器有限元模型建立及模態(tài)分析
近年來，隨著齒輪振動噪聲研究的不斷深入，不僅需要考慮齒輪系統(tǒng)及其嚙合過程，還必須考慮動態(tài)嚙合力在整個齒輪系統(tǒng)中的傳遞，以及系統(tǒng)中各零部件的固有特性和動態(tài)響應(yīng)的性質(zhì)，因此，必須以整個齒輪系統(tǒng)為研究對象，建立同時包括傳動系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的完整系統(tǒng)的分析模型。本節(jié)將在雙環(huán)減速器運動特性分析的基礎(chǔ)上，以整個雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)為對象，建立有限元動力分析模型，全面分析該系統(tǒng)的固有特性和動態(tài)響應(yīng)。
齒輪系統(tǒng)的固有特性一般指系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，是齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性之一，它對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，動載荷的產(chǎn)生與傳遞，以及系統(tǒng)振動的形式等都具有重要意義。此外，固有特性還是用振型疊加法求解系統(tǒng)響應(yīng)的基礎(chǔ)。由于系統(tǒng)的固有特性表明了在哪些頻率下結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生共振以及在各階頻率下結(jié)構(gòu)的相對變形，因此對于改善結(jié)構(gòu)動態(tài)特性具有重要意義。通常，研究齒輪系統(tǒng)固有特性有理論計算法和實驗測試法兩種。實驗測試將在以后的章節(jié)中研究，本章將利用數(shù)值計算法計算雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)的固有特性。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有特性的數(shù)值計算通常采用有限元模態(tài)分析方法。在有限元分析中，結(jié)構(gòu)的動力學特征用微分方程組表征，則結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型相應(yīng)地由動力學方程的特征值和特征向量所確定。所以可以說，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型即為求系統(tǒng)的特征值和特征向量。特征值問題的解法很多，主要有多項式割線迭代法、矢量逆迭代法、廣義雅可比法、子空間迭代法和行列式收縮法。動力問題有限元法是求解復雜結(jié)構(gòu)的大型動力學方程組的特征值問題的有效方法。本章將用動力有限元法對雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)進行特征值分析，計算其固有頻率和固有振型。
本文建立了齒輪系統(tǒng)的有限元動力學模型，用I-Deas 集成化軟件的固有模態(tài)求解模塊求解了齒輪系統(tǒng)的固有頻率和振型，并用響應(yīng)動力（Response Dynamios)分析模塊研究了齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。要進行有限元模態(tài)分析，必須先建立齒輪系統(tǒng)的有限元力學模型。
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