第五章 疊片聯(lián)軸器的振動特性分析
5.1 振動分析的有限元法
5.1.1 振動方程
各自由度系統(tǒng)振動方程的矩陣表達(dá)式為：
[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={P} (5.1.1)
其中[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，{P}為各載荷矢量之和，[K]為剛度陣
[M]=
[C]=
上式右邊d為各單元阻尼系數(shù)
式（5.1.1）又分以下幾種情況：
(1)多自由度無阻尼自由振動
[M]{x}+[K]{X}=0 (5.1.2)
(2)多自由度有阻尼自由振動
[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}=0 (5.1.3)
(3)多自由度無阻尼受迫振動
[M]{x}+[K]{x}={P} （5.1.4）
(4)多自由度有阻尼受迫振動
[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={P} （5.1.5）
5.1.2 多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型
我們通過求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程，可以求得系統(tǒng)的固有頻率。
多自由度無阻尼自由振動微分方程式為：
[M]{x}+[K]{x}=0 （5.1.6）
設(shè)上列方程的解為：{x}={A}eiωnt （5.1.7）
式中，{A}是系統(tǒng)自由振動時，各坐標(biāo)上的振幅組成的列陣，稱為振幅向量，即
又因為
{x}={A}iωNt(iωN) (5.1.9)
{x}={A}iωNt(-ωN2) (5.1.10)
式（5.1.10）連同式（5.1.7）代入式（5.1.6），簡化后得
（[K]- ωN2[m]）{A}={0}] (5.1.11)
解該方程即轉(zhuǎn)為求特征值問題。
{A}要有非零解，則{A}的系數(shù)行列式必須為零：
Δ(ωN2)=det[K] - ωN2[m]=0 (5.1.12)
即
式（5.1.12）(5.1.13)都稱為系統(tǒng)的特征方程或頻率方程，將其展開后可得到（ωn）2的n次代數(shù)方程式：
ωN2n + a1ωN2(n-1) + a2ωN2(n-2) + A + an-1ωN2+ an=0 （5.1.14）
式中系數(shù)a都是kij與mij的組合。
對于一個n個自由度的系統(tǒng)，求解特征方程后可得到(ωn)2的n個正實根，即為方程的n個特征值，也是系統(tǒng)多階固有頻率的平方值。將這n個固有頻率由小到大按次序排列，分別稱之為一階固有頻率（基頻）、二階固有頻率……n階有頻率，即0＜ωn1＜ωn2……＜ωnn
于是方程（5.1.14）可寫為：
（ω2-ωn12）（ω2-ωn22）……（ω2-ωnn2）=0 （5.1.15）
或
ω2n-(ωn12+ωn22……ωnn2) ω2(n-1)+……(-1)nωn12……ωnn2=0 （5.1.16）
求得各階固有頻率ωni后，將方程5.1.6劃去其中不獨立的某一式，并將剩下的n-1個方程中的某一相同的Ai項（這里取最后一項），移到等式右邊，把某一ωnj2的值代入ω2后，得如下方程組：
這樣可對A1（r）A2（r）……An-1（r）求解，顯然，Aj（r）與An（r）成正比，于是得出固有頻率ωj與振幅值A(chǔ)1（r）A2（r）……An（r）之間的振幅比關(guān)系。
顯然，這一振幅比表示了系統(tǒng)按第r階固有頻率作振動時的振動形態(tài)。我們把由這n個具有確定的相對比值的振幅所組成的列陣稱為系統(tǒng)的第r階主振型即：
將系統(tǒng)的各階固有頻率依次代入5.1.11，可得系統(tǒng)的第一、二……n階主振型。
n個自由度的系統(tǒng)就有n個固有頻率和主振型。
5.1.3 幾何非線性對結(jié)構(gòu)剛度的影響
按全拉格朗目列式法（TL法）的公式：
（[K]0+[K]σ+[K]L）{Δq}=[K]r{Δq }={F}+{T}-{P} (5.1.18)
其中，{F}、{T}、{P}分別為體力、面力、以及應(yīng)力在節(jié)點上的等價合力，而
對式5.1.18，我們將等號左端三個矩陣的各用[K]T表示，稱切線剛度陣，它表示了載荷增量與位移增量之間的關(guān)系。
另外，[K]0為常規(guī)有限元法中的剛度矩陣，但材料陣[C]卻為t時刻的材料剛度陣，其本構(gòu)關(guān)系為：
Δ0Sij=0CijlmΔ0Eij (5.1.22)
其中0Cijlm為增量材料性質(zhì)張量。
[K]0的求值并無困難，[K]σ稱初應(yīng)力或幾何剛度陣，它表示在大變形情況下初應(yīng)力對結(jié)構(gòu)剛度的影響，它未明顯含有位移增量，但Sij是Δq的函數(shù)，因此[K]σ是變量Δq的隱函數(shù)，對于[K]σ，當(dāng)應(yīng)力為拉應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)的剛度提高，當(dāng)應(yīng)力為壓應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)的剛度減小。[K]L稱為初位移剛度陣或大位移剛度陣，是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化，是Δq的一階和二階函數(shù)。由公式5.1.19～5.1.21可見三個剛度都是對稱的，因而切向剛度陣[K]r也是對稱的。（以上考慮慣性力帶來的影響）。
對于公5.1.22如果是小應(yīng)變問題，該公式可由材料實驗得到，但對于格林應(yīng)力與克�；舴蛴邢迲�(yīng)變而言卻不是一件易事。
因此，按照幾何非線性理論，結(jié)構(gòu)剛度不但取決于結(jié)構(gòu)材料與初始構(gòu)形，而且很大程度上取決于受載后的應(yīng)力分布（[K]σ）、位移（[K]L），剛度是隨受載情況而變化的。反映在實際工程中，則有轉(zhuǎn)動結(jié)構(gòu)的動態(tài)頻率高于靜態(tài)頻率的現(xiàn)象。
對靜態(tài)問題，求解以下特征方程可得到頻率及對應(yīng)的模態(tài)：
（[K]-λ[M]）{q}=0 (5.1.23)
這是一個廣義特征值問題，如何得到所需各階的頻率與對應(yīng)模態(tài)稍后再述，這里要說明的是結(jié)構(gòu)材料與構(gòu)形決定后，[K]與[M]不隨外載變化，因而頻率是固定的。
對動態(tài)頻率而言，如果按幾何非線性理論，應(yīng)求解如下特征值方程：
（[K]T-λ[M]）{Δq}=0 (5.1.24)
其中對T，L法有
[K]r=0[K]0 + 0[K]σ + 0[K]L
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