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第三章有限元基礎(chǔ)

3.1 線性有限元

線性有限元涉及的固體力學(xué)是建立在本構(gòu)方程、幾何方程、以及平衡方程三個(gè)方程基礎(chǔ)之上的。由此導(dǎo)出的控制方程反映了結(jié)構(gòu)真實(shí)受載后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在許多場(chǎng)合可將本構(gòu)與幾何運(yùn)動(dòng)方程處理成線性，進(jìn)而使控制方程線性化（如疊片在離心與扭轉(zhuǎn)載荷下的強(qiáng)度計(jì)算）。

3.1.1 本構(gòu)方程

建立本構(gòu)方程時(shí)應(yīng)考慮應(yīng)力、應(yīng)變兩物理參數(shù)，且兩者呈線性，這就是虎克定律。

對(duì)各項(xiàng)同性材料而言，彈性矩陣[C]為：

3.1.2 幾何方程

小變形情況下的幾何關(guān)系為：

而對(duì)于旋轉(zhuǎn)體（軸對(duì)稱實(shí)體），用極坐標(biāo)取代直角坐標(biāo)可表達(dá)成：

3.1.3 平衡方程

在有限元法分析中，認(rèn)為單元與單元之間僅通過節(jié)點(diǎn)相互連接，單元與單元之間的相互作用力是通過節(jié)點(diǎn)來傳遞的，并以節(jié)點(diǎn)處力的平衡條件來建立平衡方程。

作用在單元邊界上的集中力寫成通式為

APOLANS是以位移為有限元控制方程的基本未知量的位移模式有限元法，在此模型下，虛功原理轉(zhuǎn)變?yōu)榭偽荒茉恚涸谝粋€(gè)物體上，滿足位移協(xié)調(diào)以及位移與運(yùn)動(dòng)邊界條件的所有位移形式中，滿足平衡條件的位移形式使總位能取最小值。

設(shè)變形體總位能∏為：

∏=U-W

其中U是變形能，W是外力功

在此需指出，有限元法不尋求在結(jié)構(gòu)整個(gè)域上連續(xù)的位移函數(shù)，而是尋找各個(gè)子域（單元）上，滿足域內(nèi)及域界連續(xù)的位移函數(shù)，亦即對(duì)各單元而言，設(shè){q}為節(jié)點(diǎn)位移未知量，（板元中還對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)）在單元內(nèi)部和邊界上，假設(shè)滿足位移協(xié)調(diào)條件的插值函數(shù)N，于是體內(nèi)位移u為：

{u}=[N]{q}

代入式（3.1.3）由此推出應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系：

{ε}=[△]^T[T]{q}

=[B] {q}

[△]為（3.1.3）中微分算子組成的矩陣，[B]為應(yīng)變、位移關(guān)系矩陣，由總位能原理得：

δ∏=δU-δW

其中

由此推出

對(duì){δq}的任何分量，總位能原理總能成立，所以在整個(gè)域中對(duì)所有單元求和，有

[K]{q}={F_V}+{F_S}-{F_I}+{F_R}

其中[K]為整體剛度陣,右邊第一、二、三、四項(xiàng)分別為作用于節(jié)點(diǎn)上的當(dāng)量體力、表面力、初應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)集中力，由此靜態(tài)有限元平衡方程是個(gè)系數(shù)高度稀疏的大型聯(lián)立方程，一旦解得位移{q}，就可運(yùn)用公式求得體內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的位移，應(yīng)變和應(yīng)力。

3.1.4 等參單元

等參元是直接通過插值函數(shù)，將節(jié)點(diǎn)位移與單元內(nèi)各點(diǎn)位移連接起來，不再去求解多項(xiàng)式廣義坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)矩陣，而是將一些任意形狀的單元用自然坐標(biāo)進(jìn)行變換以達(dá)到規(guī)則的形狀（如正三角形、正六面體等），對(duì)各種規(guī)則形狀的單元給予同一的插值函數(shù)，然后在規(guī)則區(qū)域內(nèi)進(jìn)行積分，其基本過程為用單元的局部坐標(biāo)系表示的插值函數(shù)來表示元素坐標(biāo)與廣義位移，以插值函數(shù)來近似單元內(nèi)部的真實(shí)位移變化，必須保證剛體位移和常應(yīng)變，并使單元邊界上是協(xié)調(diào)的，為保證精度，表達(dá)式應(yīng)對(duì)每個(gè)坐標(biāo)力求對(duì)稱。

等參三維元的插值函數(shù)為（8——20應(yīng)點(diǎn)）

N₁=g₁-(g₉+g₁₂+g₁₇)/2

N₂=g₂-(g₉+g₁₀+g₁₈)/2

N₃=g₃-(g₁₀+g₁₁+g₁₉)/2

N₄=g₄-(g₁₁+g₁₂+g₂₀)/2

N₅=g₅-(g₁₃+g₁₆+g₁₇)/2

N₆=g₆-(g₁₃+g₁₄+g₁₈)/2

N₇=g₇-(g₁₄+g₁₅+g₁₉)/2

N₈=g₈-(g₁₅+g₁₆+g₂₀)/2

N_j=g_j

(對(duì)于j=9.....20，)

當(dāng)不包括I節(jié)點(diǎn)時(shí)，