第4章滾柱活齒減速器扭振動力學(xué)分析

4.1 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們對于機(jī)械設(shè)備的要求除了要滿足靜態(tài)設(shè)計目標(biāo)外，還要具有良好的動態(tài)特性。而對并下驅(qū)動螺桿泵采油系統(tǒng)而言，減速器的振動不但會產(chǎn)生噪聲、惡化傳動件（活齒、軸承等）的工作條件，而且會破壞螺桿泵定子與轉(zhuǎn)子之間的工作配合，降低螺桿泵使用壽命，從而影響整個采油系統(tǒng)工作壽命。所以對滾柱活齒減速器進(jìn)行動力學(xué)分析，對于降低減速器的振動從而改善整個采油系統(tǒng)的動力學(xué)性能，具有重要意義。此外，目前對于滾柱活齒傳動的研究還主要停留在靜態(tài)設(shè)計階段，而研究該傳動形式的動態(tài)特性，給出其動態(tài)參數(shù)的一般計算方法，可以為其動態(tài)設(shè)計奠定基礎(chǔ)，這對于改善該種傳動的動態(tài)性能具有重要的理論意義。

研究傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能通常有兩種方法，即試驗法和計算法。一般情況下，試驗法獲得的結(jié)果比較準(zhǔn)確，但其只適用于評定一個給定的實物或模型。而計算法通過建立動力學(xué)模型，在設(shè)計階段就可獲得系統(tǒng)的各種動態(tài)性能指標(biāo)，并可根據(jù)分析結(jié)果改進(jìn)設(shè)計或進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，從而在設(shè)計階段就能得到具有良好動態(tài)特性的系統(tǒng)設(shè)計方案，因此計算法比試驗法更實用、更經(jīng)濟(jì)，并可為同類系列產(chǎn)品設(shè)計計算奠定理論基礎(chǔ)，但數(shù)學(xué)模型的建立具有一定的難度。用計算法對減速器系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)分析時，其常用的數(shù)學(xué)模型有集中參數(shù)模型、連續(xù)分布模型和有限元模型三種。在這三種模型中，有限元法是一種比較成熟的方法，并有現(xiàn)成的商用程序軟件可供用戶使用，但它要求用戶有相當(dāng)高的分析與判斷能力和豐富的實踐經(jīng)驗。該方法建立的動力學(xué)模型雖然精度較高，但只能用來分析具體的某臺減速器，如果該減速器改型或部分結(jié)構(gòu)改進(jìn)，則一切分析工作需要從頭開始，非常費時費力。連續(xù)分布模型適用于連續(xù)質(zhì)量分布的振動系統(tǒng)，而滾柱活齒傳動的扭轉(zhuǎn)振動屬于有限個自由度的系統(tǒng)動力學(xué)問題，應(yīng)該用集中參數(shù)模型描述。傳遞矩陣建模法是一種集中參數(shù)模型的建模方法，它主要用于研究軸類零件（機(jī)床主軸組件等）的彎曲振動和機(jī)械傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動。由于該方法比較適用于傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動分析，而且建模與求解合而為一，在數(shù)值求解時只涉及低階次的傳遞矩陣和行列式，可以極大地節(jié)省計算工作量和計算時間，且計算結(jié)果完全可以滿足工程實際的需要，因此，得到廣泛的應(yīng)用。

本章在分析該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，擬采用適合系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動分析的以集中參數(shù)模型表示的傳遞矩陣法建立滾柱活齒傳動的扭振動力學(xué)模型，并求解其動態(tài)參數(shù)和能量分布。并對減速器系統(tǒng)進(jìn)行計算、分析和評價，找出其薄弱環(huán)節(jié)，為進(jìn)一步提高動態(tài)特性提供理論依據(jù)。

4.2 系統(tǒng)扭振動力學(xué)模型的建立

滾柱活齒減速器的結(jié)構(gòu)簡圖如圖4-1所示。為了分析該減速器的動態(tài)特性，首先需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)建立動力學(xué)模型。根據(jù)各種元件動力學(xué)作用的不同，可把組成系統(tǒng)的各元件分成兩類，即慣性元件和彈性元件。慣性元件是指各軸及軸上的旋轉(zhuǎn)質(zhì)量。當(dāng)傳動系統(tǒng)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動時，它們對系統(tǒng)的動力學(xué)作用，主要反映在轉(zhuǎn)動慣量方面，所以稱之為慣性元件，一個傳動系統(tǒng)的自由度數(shù)，一般等于慣性元件數(shù)。彈性元件是指兩慣性元件之間的軸段，它可以不計質(zhì)量而只考慮扭轉(zhuǎn)變形，它對振動系統(tǒng)的作用在于本身的扭轉(zhuǎn)剛度。

建立滾柱活齒減速器的扭振動力學(xué)模型時，將波發(fā)生器、活齒、活齒架作為只有慣性而無彈性的慣性元件。把同一軸上各慣性元件的轉(zhuǎn)動慣量根據(jù)實際情況，轉(zhuǎn)換到該軸的兩端，形成兩個等效剛性圓盤。計算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動慣量，將各軸段的轉(zhuǎn)動慣量迭加到該軸的兩慣性元件上（一般可平均分配），各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應(yīng)與兩慣性元件之間實際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。

對于圖4-2a所表示的活齒與波發(fā)生器之間、活齒與中心輪之間、活齒與活齒架之間的嚙合副而言，當(dāng)嚙合處的彈性變形不能忽略時，可以引入一個等級的彈性軸段，視為一個彈性元件，如圖4-2b所示。

根據(jù)上述方法，可以初步建立起如圖4-3所示的系統(tǒng)動力學(xué)模型，為了能夠利用傳遞矩陣法對該系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析，需將各慣性元件和彈性元件向輸入軸轉(zhuǎn)換（也可向輸出軸或中間任一軸轉(zhuǎn)換，均不影響結(jié)果），構(gòu)成單一軸線的當(dāng)量圓盤系統(tǒng)的扭振動力學(xué)模型。轉(zhuǎn)換中，按轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)的動能和勢能保持不變的原則，確定轉(zhuǎn)換后動力學(xué)模型中各元件的參數(shù)。

4.2.1 慣性元件等效轉(zhuǎn)動慣量的確定

根據(jù)轉(zhuǎn)換前后動能相等的原則，將各慣性元件的轉(zhuǎn)動慣量統(tǒng)一向輸入軸（波發(fā)生器）轉(zhuǎn)換。

轉(zhuǎn)換前活齒的總轉(zhuǎn)動慣量為：

式中I_g——轉(zhuǎn)換前活齒的轉(zhuǎn)動慣量（kg·mm²）；

m_i——第i個活齒的質(zhì)量（kg）；

r_i——第i個活齒的半徑（mm）；

R_i——第i個活齒中心到波發(fā)生器回轉(zhuǎn)中心的距離（mm）；

n——雙排結(jié)構(gòu)中同時參與嚙合的活齒數(shù)。

向輸入軸轉(zhuǎn)化，根據(jù)轉(zhuǎn)換前后動能相等的原則有：

將ω_ge:ω_g=r:R代入上式得

式中I_ge——轉(zhuǎn)換后n個活齒的等效轉(zhuǎn)動慣量（kg·mm²）；

ω_ge——轉(zhuǎn)換后活齒的等效角速度（rad/s）；

ω_g——轉(zhuǎn)換前活齒的角速度（rad/s）；

同樣，將活齒架的轉(zhuǎn)動慣量向輸入軸轉(zhuǎn)換

而ω_se=iω_s,所以

I_s=i²I_se                                   （4-3）

I_se―轉(zhuǎn)換后活齒架等效轉(zhuǎn)動慣量（kg·mm²）

ω_se―轉(zhuǎn)換后活齒架等效角速度（rad/s)；

I_s―轉(zhuǎn)換前活齒架轉(zhuǎn)動慣量（kg·mm²)；

ω_s―轉(zhuǎn)換前活齒架角速度（rad/s）。

4.2.2 彈性元件等效扭轉(zhuǎn)剛度的確定

由于彈性元件的存在而產(chǎn)生的剛度包括接觸剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。現(xiàn)有文獻(xiàn)提供的接觸剛度算法一般都是線剛度，在扭振動力學(xué)分析中應(yīng)將其換算成角剛度。應(yīng)當(dāng)指出的是，角剛度值與所選擇的換算目標(biāo)有關(guān)，必須明確換算的目標(biāo)軸，才能保證分析結(jié)果的正確性。接觸剛度轉(zhuǎn)換到輸入軸上的等效扭轉(zhuǎn)剛度按式（4-4）進(jìn)行：

k₂=R²k₁                            (4-4)

式中R—所在圓周半徑（mm）；

k₁—接觸剛度（N/rad·mm)；

k₂—轉(zhuǎn)換后的等效扭轉(zhuǎn)剛度（N·mm/有rad）。

扭轉(zhuǎn)剛度k的計算按式（4-5):

式中

G——剪切彈性模量（N/mm²)；

I_p——極慣性矩（mm⁴)；

l——軸長（mm）。

4.2.3 等效阻尼系數(shù)的確定

按照轉(zhuǎn)換前、后系統(tǒng)的阻尼功不變的原則，對外阻尼有

C_2,3e＝i²C_2,3                                             （4-8）

在圖4-3所示的動力學(xué)模型中，出現(xiàn)了具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)的傳動分支，應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為等效的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，以便應(yīng)用傳遞矩陣法建模和求解。對波發(fā)生器而言，扭轉(zhuǎn)剛度按式（4-9）計算。

式中k_i—階梯軸第i段扭轉(zhuǎn)剛度。

支承處剛度不計，設(shè)兩端均為自由端，按照上述公式將各軸上的慣量元件和彈性元件轉(zhuǎn)換到輸入軸上，可以得到轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)扭振動力學(xué)模型如圖4-4所示。

4.3 系統(tǒng)扭振數(shù)學(xué)模型的建立

從建立的動力學(xué)模型圖4-4可以看出，該模型由慣性元件、彈性元件和阻尼元件組成，因此，只要獲得了這幾種元件的數(shù)學(xué)模型，就可以利用傳遞矩陣法建立起整個減速器系統(tǒng)的動力學(xué)模型。

4.3.1慣性元件的扭振數(shù)學(xué)模型

如圖4-5 所示，第j個慣性元件的轉(zhuǎn)動慣量為I_j，所受到的激振力矩為w_j（t),旋轉(zhuǎn)阻尼為C_j。元件左側(cè)的狀態(tài)矢量為轉(zhuǎn)角θ^L_j和扭矩m^L_j，右側(cè)的狀態(tài)矢量為轉(zhuǎn)角θ^R_j和扭矩m^R_j。元件動態(tài)載荷為慣性力矩I_jθ^&&_j和外阻尼力矩V_jθ^&_j。根據(jù)力平衡關(guān)系可得

若激振力矩是頻率為ω的簡諧函數(shù)，即

式中ω——激振頻率（rad/s）；

W_j——激振扭矩幅值（復(fù)常數(shù)）（N·mm）。

則作為響應(yīng)的狀態(tài)變量也是與激振力矩具有相同頻率的簡諧函數(shù)。即

式中

[D]_j——第j個慣性元件的傳遞矩陣；

{Z}^R_j——第j個慣性元件右側(cè)的狀態(tài)矢量；

{z}_j^L——第j個慣性元件左側(cè)的狀態(tài)矢量。

4.3.2彈尾元件的扭振數(shù)學(xué)模型

如圖4-6所示，第j個彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度為k_j，扭轉(zhuǎn)阻尼為C_j，元件的左右兩側(cè)各連接一個慣性元件，左側(cè)慣性元件的右端狀態(tài)矢量等于彈性元件的左端狀態(tài)矢量，即θ^L_j=θ^R_j-1,m_j^L=m_j-1^R。右側(cè)慣性元件左端的狀態(tài)矢量等于彈性元件右端的狀態(tài)矢量，即θ^R_j=θ^L_j+1，m_j^R=m_j+1^L。彈性元件的內(nèi)力為彈性恢復(fù)力矩k_j(θ^R_j-θ^L_j)和阻尼力矩C_j(θ^&&_j-θ^&_j)。根據(jù)力平衡關(guān)系可得

4.3.3彈性元件和慣性元件組成單元的數(shù)學(xué)模型

組合式（4-14）和（4-19），可建立第j-1個剛性圓盤右側(cè)和第j個剛性圓盤右側(cè)狀態(tài)矢量間的關(guān)系。

4.3.4減速器系統(tǒng)狀態(tài)傳遞方程和傳遞矩陣

當(dāng)元件數(shù)學(xué)模型建立后，尤其是得到各個元件的傳遞矩陣后，根據(jù)傳遞扭矩法就可行到整個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)整個系統(tǒng)共有n個元件，則根據(jù)上述原理，可以逐步計算各個元件兩端的狀態(tài)矢量。

式中[T]_j——彈性或者慣性元件的傳遞矩陣；

[G]_n——n個元件傳遞矩陣的累積矩陣。

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