c.齒根段的修形
給定齒根修形角φf和徑向最大修形量△lf，選擇移距增量函數(shù)：
同樣可以證明，齒根修形曲線與中段修形曲線也是光滑連接的。
4.3.4修形對工作推桿數(shù)的影響
顯然，未經修形的齒廓曲線在齒頂鄰域和齒根鄰域嚙合的壓力角都很小，因而分段修形后應將頂、根部大致削去相同的區(qū)段。即φa、φf仰的分配應根據各自所對應的頂根段曲線弧長相等的原則來進行。一般可近似取φa為φf的2到4倍，而取△la=△lf=esinφa。
[計算實例]：
對于TW-3-16推桿減速器，要求內齒圈齒廓經修形后同時工作的推桿數(shù)ng不少于5，按上述方法確定的修形量為：
φa+φf=4.5°
取φa=2φf，則φa=3°，φf=1.5°，△la=0.36mm選擇△TZ=0.19mm，將齒廓分段修形后，機器性能得到了明顯改善。
4.4內齒圈齒廓的公法線測量及加工精度控制
目前在推桿減速器的大批量生產中，對內齒圈齒廓的加工所采用的還都是范成加工方法，其測量手段長期以來一直沒能得到很好的解決。一些生產廠家主要是利用測量齒根至齒圈外圓的厚度及齒頂至齒圈外圓的厚度來確定被加工齒廓的合格與否。這種方法并沒有能夠完全反應出內齒圈齒廓在加工過程中所產生的誤差，它僅斃反應出偏心距的誤差。公法線測量法是以預先計算出的公法線理論長度為依據，根據測量的結果，能夠判斷出加工過程中影響內齒圈齒廓加工精度的各個控制參數(shù)所產生的誤差，從而對這些參數(shù)進行調整，使之達到要求的精度。
4.4.1公法線的長度計算
如圖4.9 所示，AB是其中一個齒槽的一側齒廓，A′B′是跨槽數(shù)為K（圖中k=4)的一個齒梢的另一側齒廓，它們是兩個性質不同的齒廓。若把AB看成是工作齒廓，則A′B′是非工作齒廓。選擇圖4.9所示的坐標系，讓坐標原點O與內齒圈幾何中心重合，y軸與OA重合。設P（x，y）為AB齒廓上的一點，在P點與內齒圈齒廓相接觸的外滾子的位置角為φ2，在A′B′上取P點的對應點P′，使∠A′OO2=φ2，P′點與P點是關于∠AOA′的平分線完全對稱的，即0P′=OP，a2=a2′，OO1=OO2，圖4.9中PO1與P′O2相交在Q點，它們并不共線，因此P′點與P點不具有共同的法線。假設隨著P點位置的改變（當然P′點也隨著P的改變而改變），使PO1與P′O2在同一條直線上，此時P′與P就有共同的法線，此時：
上式就是齒廓AB上與跨槽數(shù)為k的齒廓具有公法線的點的條件。當k確定后，若存在公法線，則由（4.17）式并結合基本關系式（2.38）等可解出φ2的值來。
從圖4.9可求得公法線長度為：
Wk=2（l1+l）cosa2+2rz （4.18）
式中l(wèi)1、a2與φ2的關系由基本關系式所確定。顯然，兩個齒槽的同側齒廓（同為工作齒廓或非工作齒廓）是不存在公法線的。
4.4.2公法線的數(shù)目
由于內齒圈齒廓曲線具有周期性且工作齒廓與非工作齒廓是完全對稱的，所以只需討論一個齒槽的一側齒廓與其它齒槽的另一側齒廓所具有的公法線。
令：
內齒圈的齒數(shù)ZN可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)（實際產品都是奇數(shù)）。為了討論問題的方便，引用截斷取整符號“INT”，當ZN為偶數(shù)時，
，當ZN為奇數(shù)時，
，由函數(shù)式（4.19）可得：
下面就來講議化跨槽數(shù)k取不同數(shù)值時，具有的公法線情況：
[算例]
對于前面提到的3TWY7.5-12推桿減速器，齒數(shù)ZN=11，計算得到k0=4，即當跨槽數(shù)k小于等于4時，兩齒郭不具有公法線。當跨槽數(shù)k=5時，計算得到兩條公法線，理論長度分別為：
凸齒公法線 W51=209.632mm，對應于φ2=1.755°
凹齒公法線 W52=215.716mm，對應于φ2=12.485°
當跨槽數(shù)k=6時，計算得出只有一條凹齒公法線
W63=230.146mm，對應于φ2=15.205°
合起來，此推桿減速器的內齒圈齒廓共有三條不同長度的公法線，它們的位置如圖4.10所示。
4.4.3刀具軸線有偏距時的內齒廓及公法線
用圓柱形刀具加工內齒圈齒廓時，刀具軸線應在齒圈的半徑方向作相對運動，如果它不沿著齒圈半徑方向運動，那就有了偏距。在圖4.11中，若刀具中心的運動方向平行于y軸，而刀具中心在O2處，那就有了偏距E，現(xiàn)在來分析此時加工出來的齒廓及公法線長度。
同圖4.11可得：
利用第二章中推導內外滾子工作角關系的方法可得a2與a1的關系為：
經過分析可知，當存在偏距E時，在跨槽數(shù)為k的兩齒廓上具有公法線的點的條件仍然可用式（4.17）表示，公法線長度為：
若令（4.30）式和（4.31）式中的E=0，得到的就是無偏距時的內齒圈齒廓理論方程式（2.21）及公法線長度（4.18）式。
4.4.4利用公法線誤差分析加工調整參數(shù)誤差
由齒廓方程式（4.30）可以知道，齒廓形狀取決于偏心軸的偏心距e，偏心軸幾何中心到固定點長度R，刀具半徑Tz，進刀深度l以及刀具軸線偏距E。e和R是夾具結構上的固定尺寸，應該調整得盡量正確，而其誤差加△e、△R也是個定值。而△Tz是由于刀具制造誤差及加工過程中的磨損引起，△l及△E是由于操作誤差引起。因此，△Tz、△l及△E是導致齒形誤差的工藝因素。下面來分析它們對公法線長度的影響。
把公法線長度Wk看成是自變量為TZ、l及E的函數(shù)，即Wk=Wk（Tz，l，E），由（4.31）式可得：
假設用下標i表示公法線序號，用△Wki表示第i條公法線實際測量出的值與理論計算出的值的誤差，則可得到公法線長度誤差方程為：
上式中A-1是矩陣A的逆陣，稱誤差矩陣。當算得相應的偏導數(shù)值后，如果測得一個齒槽的一側齒廓與其它齒廓的三條公法線的誤差，代入方程組（4.32）之后，便可求得相應的△Tz、△l和△E�！鱐z是經計算得到的刀具半徑的誤差，△l是進刀深度誤差，△E是刀具軸線偏心距的誤差，根據計算結果適當調整這些參數(shù)就能迅速地提高齒廓精度，使之達到精度要求。
［計算實例]
前面所說的3TWT7.5-12推桿減速器，根據參數(shù)可計算得到其誤差矩陣A-1為：
在一個內齒圈齒廓上實際測得三條公法線的長度與理論長度的誤差為：
△W51=0.02261mm
△W52=0.03806mm
△W63=0.02106mm
代入式（4.32）可得：
△TZ=0.0202mm，△l=0.032mm，△E=0.1697mm
根據計算結果適當調整這些參數(shù)就能迅速提高齒廓精度，使之達到精度要求。
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