3 推桿減速器的效率計(jì)算與強(qiáng)度校核
推桿減速器的嚙合效率是衡量其性能的一個(gè)重要指標(biāo)，而強(qiáng)度校核是確定其承載能力的主要依據(jù)。對(duì)它們的理論分析能否正確反應(yīng)推桿減速器的實(shí)際情況，直接影響到推桿減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果。
推桿減速器由于采用推桿這一特殊構(gòu)件作為活齒，因而使得它在效率與強(qiáng)度計(jì)算方法上與其它活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有所不同。其特點(diǎn)是傳動(dòng)圈導(dǎo)槽對(duì)推桿等效全反力的作用點(diǎn)及方向隨推桿工作位置的不同而發(fā)生的變化很大。因而與其它活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（例如滾柱活齒減速器）的效率計(jì)算方法是不同的。在已發(fā)表的有關(guān)推桿減速器效率計(jì)算的文獻(xiàn)中，都近似地把在外滾子與內(nèi)齒圈之間作用力固定不變的情況下，無(wú)摩擦損失時(shí)與有摩擦損失時(shí)所需的驅(qū)動(dòng)力或驅(qū)動(dòng)力矩的比值作為嚙合效率。有的雖然考慮了驅(qū)動(dòng)力矩，但同時(shí)又把有摩擦?xí)r的驅(qū)動(dòng)力近似處理為通過(guò)內(nèi)滾子中心。實(shí)際計(jì)算表明，這些近似處理方法所帶來(lái)的誤差是很大的。而且這些文獻(xiàn)只討論了單個(gè)推桿的嚙合效率。
本章詳細(xì)分析了推桿在不同情況下的受力狀態(tài)，考慮了慣性力的影響，嚴(yán)格按嚙合效率定義推導(dǎo)出了較為精確的總體嚙合效率計(jì)算公式，并利用計(jì)算機(jī)能夠進(jìn)行大量復(fù)雜運(yùn)算的特點(diǎn)，取機(jī)構(gòu)在若干不同嚙合點(diǎn)位置時(shí)效率的平均值作為總的嚙合效率，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本相吻合。
3.1推桿在導(dǎo)槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分析
在推桿減速器中，動(dòng)力的傳遞是靠運(yùn)動(dòng)著的推桿來(lái)完成的，推桿在工作行程中相對(duì)導(dǎo)槽的運(yùn)動(dòng)是變速的外推滑動(dòng)，其速度vr可用內(nèi)滾子中心O1點(diǎn)的速度表示，如圖2.7所示。在前面已求得當(dāng)傳動(dòng)圈固定時(shí),內(nèi)滾子中心Ol點(diǎn)的位移為：
推桿在工作行程開(kāi)始時(shí)，l1值為最小，這時(shí)lmin=Tb+Tz-e，α1=0，φ1=0，vr=0，
加速度方向同運(yùn)動(dòng)方向一致，即從內(nèi)向外作加速運(yùn)動(dòng)。
推桿在工作行程結(jié)束位置，l1達(dá)到最大值lmin=Tb+Tz+e，此時(shí)α1=0，φ1=π，vr=0，
加速度方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，即作減速運(yùn)動(dòng)。
為求出vr最大值，命ar=0，可得：
聯(lián)立（3.4）式及（3.1）式，可求得ar=0時(shí)對(duì)應(yīng)的φ1值，由此可得到該位置各運(yùn)動(dòng)參數(shù)的值，此時(shí)速度有最大值urmax。
[算例]
對(duì)于3TWY7.5-12推植減速器，Tb=55mm，Tz=10mm，ε=5mm，l=36mm，ωJ=1500RPM，iJN=-11，計(jì)算出的l1，vr，ar與φ1的關(guān)系曲線如圖3.1所示。
3.2推桿受力分析
在第二章已把推桿減速器根據(jù)傳動(dòng)圈是否與激波器轉(zhuǎn)向相同分為正反兩種結(jié)構(gòu)。這兩種結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)是不同的。下面先討論正向結(jié)構(gòu)。
設(shè)激波器按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，如圖3.2所示，則激波器迫使與其接觸的內(nèi)滾子自身以逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，在激波器與內(nèi)滾子接觸點(diǎn)M1處，激波器轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)大于內(nèi)滾子轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)，所以激波器對(duì)內(nèi)滾子的摩擦力方向是沿切線方向向右，與激波器沿接觸點(diǎn)法線方向?qū)?nèi)滾子的作用力一起組成全反作用力FJ。在外滾子與內(nèi)齒圈接觸點(diǎn)風(fēng)處，外滾子沿齒廓向齒根方向運(yùn)動(dòng)，內(nèi)齒圈齒廓對(duì)外滾子的摩擦力方向?yàn)檠佚X廓指向齒頂?shù)那芯�方向，與內(nèi)齒圈沿接觸點(diǎn)M2法線方向?qū)ν鉂L子的作用力一起組成全反力FN。
在傳動(dòng)圈導(dǎo)槽與推桿的接觸處，受到傳動(dòng)圈導(dǎo)槽對(duì)推桿的向下摩擦力，與沿法線方向的約束反力一起組成全反力FC。
圖3.2中的θ1、θ2、θ3分別為激波器與內(nèi)滾子之間、內(nèi)齒圈齒廓與外滾子之間以及導(dǎo)槽與推桿之間的摩擦角。
如上節(jié)所述，催件在隨傳圈作勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還相對(duì)導(dǎo)槽作加速度為ar的加速運(yùn)動(dòng)。根據(jù)達(dá)朗伯原理，除了上述真實(shí)的作用力及約束反力外，再假想地加上慣性力的反力，這些力在形式上組成一個(gè)平衡力系。推桿所產(chǎn)生的慣性力由三部分組成：向心力Fω，相對(duì)慣性力Fr，科氏慣性力Fk，它們的作用點(diǎn)可看作是推桿的質(zhì)心，其反力的方向如圖3.2所示，由理論力學(xué)知，它們的計(jì)算按下式：
式中m是推桿的質(zhì)量。
3.2.1推桿單側(cè)受力的平衡方程
當(dāng)FJ、FN二力的交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)內(nèi)（圖3.2所示），推桿呈現(xiàn)單側(cè)受力狀態(tài)（右側(cè)受力），對(duì)推桿質(zhì)心取矩，可得如下平衡方程式：
由于考慮了慣性力，所以力Fc不通過(guò)交點(diǎn)Q，lc也是一個(gè)未知數(shù)。若根據(jù)輸入功率確定出FJ，則方程組（3.8）只剩下FN、FC及l(fā)c三個(gè)未知數(shù)了。
3.2.2推桿雙側(cè)受力的平衡方程
若傳動(dòng)圈尺寸選用不當(dāng)，或者是機(jī)構(gòu)為反向結(jié)構(gòu)，使FJ與FN作用力的交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)外（圖3.3所示）時(shí)，推桿呈現(xiàn)雙側(cè)受力狀態(tài)。生產(chǎn)實(shí)踐表明，推桿雙側(cè)受力將造成推桿嚴(yán)重的磨損。這種情況下推桿的受力與傳動(dòng)圈外徑尺寸有關(guān)。對(duì)于圖3.3所示受力情況，對(duì)推桿質(zhì)心取矩，可列出它的平衡方程式為：
3.2.3反向結(jié)構(gòu)的受力分析
在傳動(dòng)圈與激波器轉(zhuǎn)向相反的結(jié)構(gòu)中，工作推桿的受力狀誠(chéng)如圖3.4所示。從受力狀態(tài)圖可以看出，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，推桿與導(dǎo)槽必然形成雙側(cè)接觸。推桿兩側(cè)將造成嚴(yán)重磨損，實(shí)際生產(chǎn)中，應(yīng)避免使用反向結(jié)構(gòu)。
3.3效率計(jì)算
3.3.1單個(gè)推桿的效率計(jì)算
從方程組（3.8）中消去FN得：
3.3.2整體效率計(jì)算
從上面單個(gè)推桿的效率計(jì)算公式可知，對(duì)應(yīng)激波器的不同轉(zhuǎn)角，效率是不同的。實(shí)際上總有多個(gè)推桿同時(shí)工作，因而應(yīng)求出整個(gè)機(jī)構(gòu)的總體效率。
下面首先來(lái)分析驅(qū)動(dòng)力在工作推桿上的分布規(guī)律。
設(shè)傳動(dòng)構(gòu)件之間無(wú)間隙，并設(shè)激波器是完全剛性的。在驅(qū)動(dòng)力矩作用下，各工作推桿的內(nèi)滾子在與激波器接觸處產(chǎn)生法向彈性變形，使激波器轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)微小的角度△θ，如圖3.5所示，則可確定彈性變形量εi的分布規(guī)律。
設(shè)最大彈性變形量為ε，由圖3.5可知：
同理可得：
上式中：FJm為對(duì)應(yīng)最大變形處的作用力；FJi為激波器對(duì)第i個(gè)推桿的作用力；τi為第i個(gè)推桿內(nèi)滾子中心與激波器短軸所夾的圓心角。如圖3.2所示。
在任一瞬間，各工作推桿所處的位置是不同的，設(shè)第i個(gè)工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器轉(zhuǎn)角為φ1i，則：
由于相鄰兩推桿所夾的中心角為2π/ZC，在某一時(shí)刻，只要其中一個(gè)工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角（激波器相對(duì)該推桿從初始工作位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ1）確定后，其它各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角也隨之確定下來(lái)。設(shè)各工作推桿所對(duì)應(yīng)的最小激波器位置角為φ11，如圖3.6所示，則從對(duì)應(yīng)激波器位置角為φ11的這個(gè)工作推桿開(kāi)始，順序第i個(gè)工作椎桿所應(yīng)的激波器位置角φ1i為：
這樣，一旦最小激波器位置角φ11被確定，各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角φ1i便隨之被確定下來(lái)，從而各嚙合點(diǎn)也被確定下來(lái)，稱最小激波器位置角φ11為嚙合點(diǎn)定位角，簡(jiǎn)稱嚙合定位角。嚙合定位角φ11的取值范圍是：
類似方程組（3.8）的建立及求解，可得第i個(gè)工作推桿的Fci及l(fā)ci，與式（3.10）及（3.11）類同。
考慮到實(shí)際裝置為雙排結(jié)構(gòu)，輸入功率P1可表示為：
上述式中，ng表示工作推桿數(shù)。在沒(méi)有頂切，又不修形的理論情況下，工作推桿數(shù)ng為推桿總數(shù)的一半。實(shí)際上，由于齒廓修形等原因，實(shí)際工作推桿數(shù)ng比理論情況下要少。
計(jì)算時(shí)，先根據(jù)輸入功率P1及轉(zhuǎn)速ωJ由（3.19）式計(jì)算出FJm，然后對(duì)每一工作推桿由式（3.17）計(jì)算出FJi，由式（3.10）式及式（3.11）計(jì)算出Fci及l(fā)ci，最后代入式(3.21）計(jì)算出效率η。
當(dāng)不考慮慣性力時(shí)，只需令上述公式中的Fr，F(xiàn)K，F(xiàn)ω都等于零，這時(shí)公式為：
可見(jiàn)，在忽略慣性力影響的情況下，機(jī)構(gòu)的嚙合效率與輸入功率、轉(zhuǎn)速都無(wú)關(guān)。
從式（3.22）或式（3.21）可知，機(jī)構(gòu)的整體嚙合效率η與各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角有關(guān)，而各工作推桿所對(duì)應(yīng)的激波器位置角又可隨嚙合定位角φ11的確定被確定下來(lái)。因而，對(duì)指定的嚙合定位角φ11，由式（3.22）可計(jì)算得到唯一的數(shù)值，當(dāng)φ11在其取值范圍內(nèi)取不同值時(shí)，由式（3.22）所計(jì)算出的效率也略有不同。為此，將嚙合定位角的取值區(qū)域［0,2π/ZC]平均分成50等分，分別用式（3.22)計(jì)算嚙合定位角取這50個(gè)位置的不同數(shù)值時(shí)機(jī)構(gòu)的嚙合效率，然后取其平均值作為機(jī)構(gòu)的總平均嚙合效率ηp，即
對(duì)交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)外的情況，在方程組（3.9）中消去FN后，類似上述方法同樣可求得此時(shí)的效率計(jì)算公式。實(shí)際計(jì)算表明，這種情況效率較低，而且推桿受力狀態(tài)不好，將造成嚴(yán)重磨損。實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)避免這種情況發(fā)生。因而在設(shè)計(jì)推桿減速器時(shí)，應(yīng)正確選用傳動(dòng)圈尺寸及其它各參數(shù)，以確保Q點(diǎn)任何時(shí)候都能落在傳動(dòng)圈所在環(huán)內(nèi)。
［算例]：
TW-3-16推桿減速器的參數(shù)是：Tb=50mm,Tz=6mm，e=3mm，l=22mm，ZN=15,ZC=16。
分析推桿減速器各嚙合副的形式可知，推桿與導(dǎo)槽是滑動(dòng)摩擦接觸，激波器與內(nèi)滾子可近似看作滾動(dòng)摩擦接觸，而內(nèi)齒圈與外滾子之間滾滑兩種成份都有。
由文獻(xiàn)查得滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.05-0.1，而滾動(dòng)摩阻系數(shù)k=0.01mm，由文獻(xiàn)可知滾動(dòng)摩擦系數(shù)為k/Tz=0.0017。由于摩擦系數(shù)只是個(gè)參考數(shù)值，為了使計(jì)算結(jié)果更有實(shí)際意義，選用了三組不同摩擦系數(shù)的值，計(jì)算結(jié)果如表3.1所示。
表3.1選用不同摩擦角時(shí)嚙合效率的計(jì)算結(jié)果
| θ1 |
θ2 |
θ3 |
ηP |
0.002
0.0025
0.003 |
0.01
0.015
0.02 |
0.06
0.07
0.08 |
0.958
0.951
0.946 |
設(shè)η機(jī)為推桿減速機(jī)的整體效率，ηZ為軸承效率，ηJ為工作時(shí)攪動(dòng)潤(rùn)滑油的功率損失，則應(yīng)有：
η機(jī)=ηP·ηZ·ηJ （3.24）
由試驗(yàn)知，η機(jī)=0.91，整機(jī)采用了4對(duì)軸承近似取ηZ=0.97，ηJ=0.98,由式（4.24）可得ηP=0.957�？梢�(jiàn)，實(shí)際嚙合效與理論計(jì)算基本相符合。
3.3.3構(gòu)件尺寸對(duì)嚙合效率的影響
為了判斷推桿減速器構(gòu)件尺寸對(duì)其效率的影響，對(duì)3TWY7.5-12推桿減速器，選用同一組摩擦系數(shù)，而改變某一基本構(gòu)件尺寸，并假定傳動(dòng)圈尺寸隨之改變以確保受力交點(diǎn)Q落在傳動(dòng)圈所在環(huán)內(nèi)，計(jì)算其嚙合效率，結(jié)果如圖3.7所示。
從圖3.7可以看出，嚙合效率隨著激波器偏心距e的增大而升高，隨著激波器半徑Tb、滾子半徑Tz、推桿長(zhǎng)度l的增大而降低。其中偏心距e對(duì)效率的影響最為嚴(yán)重，推桿長(zhǎng)度對(duì)效率的影響最小。
3.4強(qiáng)度校核
根據(jù)推桿減速器結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，強(qiáng)度校核應(yīng)著重于各零件之間的接觸強(qiáng)度。由于激波器與內(nèi)滾子之間以及內(nèi)齒圈與外滾子之間不僅相互作用力大，而且是線接觸，因而這些零件是需要進(jìn)行接觸強(qiáng)度校核的主要對(duì)象。在推桿與傳動(dòng)圈導(dǎo)槽之間，由于接觸面積較大，故接觸應(yīng)力不會(huì)太大。當(dāng)零件所使用的材料及熱處理方式不同時(shí)，其許用接觸應(yīng)力大小也不相同，因而對(duì)激波器與內(nèi)滾子接觸處以及內(nèi)齒圈與外滾子接觸處都應(yīng)進(jìn)行接觸應(yīng)力的計(jì)算。
3.4.1激波器與內(nèi)滾子之間的接觸應(yīng)力
激波器與內(nèi)滾子的接觸，顯然是兩個(gè)圓柱體的相壓接觸，由彈性力學(xué)可知，在接觸處產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力σHJ可由下面的赫茲應(yīng)力公式來(lái)計(jì)算：
上式中：b為內(nèi)滾子的工作長(zhǎng)度。
Ed為當(dāng)量彈性模量，
，由于E1和E1都是鋼材的彈性模量，所以Ed=E1=2.1×105 N/mm2
PJ為當(dāng)量曲率半徑，
FJmax為激波器與內(nèi)滾子之間的最大奪力，可近假用FJm來(lái)代替，由式（3.19）可得：
為求上式中的最大值，可將嚙合定位角φ11在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行一維搜索。
[σ]HJ為激波器與內(nèi)滾子所用材料的最小許用接觸應(yīng)力。
3.4.2內(nèi)齒圈與外滾子之間的接觸應(yīng)力
由于內(nèi)齒圈齒廓上各接觸點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的曲率，因此外滾子與內(nèi)齒圈的接觸，可看作是兩個(gè)瞬時(shí)圓柱體的接觸，在對(duì)應(yīng)于內(nèi)齒圈齒廓的齒頂部分，相當(dāng)于兩個(gè)圓柱體外接觸，在對(duì)應(yīng)于內(nèi)齒圈齒廓的齒根部分，相當(dāng)于兩個(gè)圓柱體內(nèi)接觸。由于內(nèi)齒圈理論齒廓曲線上各點(diǎn)的曲率半徑不同，各點(diǎn)的作用力也不相等，因而在赫茲應(yīng)力公式，需求出FN/ρN的最大值，最大接觸應(yīng)力σHN為：
上式中k2為外滾子中心軌跡的相對(duì)曲率，在齒頂部分其值為正，在齒根部分其值為負(fù)。
為求上式的最大值，首先給嚙合定位角φ11在其取值范圍內(nèi)指定若干個(gè)離散點(diǎn)，對(duì)于φ11在每個(gè)離散點(diǎn)上的取值，都分別計(jì)算出各工作推桿所應(yīng)的FN/ρN，取其中最大者。然后把φ11取每個(gè)離散點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的最大FN/ρN再進(jìn)行比較，可求得
。
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