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      沈潤杰 碩士——齒輪聯(lián)軸器耦合軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)研究及應(yīng)用
      來源:減速機信息網(wǎng)    時間:2007年10月9日10:21  責任編輯:wangtao   
       

      §4.3  齒輪聯(lián)軸器—轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)彎扭耦合固有振動方程

      對圖4.4所示的齒輪連軸器—轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng),用上節(jié)所述方法,可以寫出齒輪聯(lián)軸器連接的兩段軸及聯(lián)軸器中間的彎曲振動方程和扭轉(zhuǎn)振動方程,之后將它們聯(lián)立起來,可得到如下形式

      我們稱為準總質(zhì)量陣,為準總阻尼陣,為準總剛度陣。位移向量:

      其中,上標(w)、(N)分別表示外齒輪和內(nèi)齒輪,下標i=1,…,n-1表示集總質(zhì)量所在節(jié)點號,下標j=1,…j,…Q表示第j個半齒聯(lián)軸器,ΔFxjw,ΔFyjw表示齒輪動態(tài)嚙合力在x,y方向的分量,ΔMjw,ΔNjw為計入齒寬影響時作用在齒面上的附加力矩。之所以稱為準質(zhì)量陣,為準阻尼陣,為總剛度陣,乃是因為式(4.20)還不是彎扭耦合振動方程的最終形式。這是因為1):式(4.20)右端含有未知力ΔFxjk,ΔFyjk,ΔMjk,ΔNjk,ΔTj,(k=w,N),方程組中未知量個數(shù)多于方程個數(shù);2):ΔFxjk,ΔFyjk,ΔMjk,ΔNjk,ΔTj,(k=w,N)是本征的。必須解決上述這兩個問題,才能得到彎扭耦合振動方程。因而我們還需要尋求一種關(guān)系,通過這種關(guān)系,解決上述兩個問題,使得各轉(zhuǎn)子的彎扭振動及轉(zhuǎn)子間的彎扭振動耦合起來,并使彎扭耦合振動的方程組有定解,即最終使(4.20)式化為如下標準形式

      M,C,K分別為彎扭耦合振動方程的總質(zhì)量陣,總阻尼陣和總剛度陣。

      §4.4  彎扭耦合振動模型研究

      上兩章我們已經(jīng)對齒輪聯(lián)軸器接觸特性,力學(xué)特性進行了分析。從分析中可知齒輪聯(lián)軸器接觸特性,力學(xué)特性非常復(fù)雜,我們不可能向文獻處理外齒輪那樣,通過小擾動下的幾何關(guān)系來得到動態(tài)力和力矩,從而導(dǎo)出如式(4.21)標準形式的彎扭耦合振動方程。因為由上章的討論可知,如果假設(shè)齒是剛性,則齒輪軸發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)振動時,可能發(fā)生沖擊或?qū)е孪到y(tǒng)方程的非線性,為了解決這個問題你們采用類似軸承的處理方法,直接把齒輪聯(lián)軸器在靜平衡位置;癁25個剛度系數(shù)(其具體的求解如第三章所述),當齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)外齒在此平衡位置發(fā)生微小擾動時認為聯(lián)軸器的剛度不變,則齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受的動態(tài)力和力矩可用下式表示:

      因此通過聯(lián)軸器的剛度[KijL]5×5(由第三章求得)把動態(tài)力和力矩表示成內(nèi)外齒相對位移的顯函數(shù),從而得到齒輪聯(lián)軸器連接軸系的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動方程。

      §4.4.1  靜態(tài)平衡位置的確定

      從上面的分析可知,齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)外齒是在某個平衡位置發(fā)生微小擾動,因此齒輪聯(lián)軸器的剛度應(yīng)是在某一平衡位置處的剛度,其關(guān)鍵是如何確定靜態(tài)平衡位置。一般由齒輪聯(lián)軸器連接的多支承軸承的系統(tǒng)中,各軸承的承受載荷及聯(lián)軸器的附加載荷成為靜不定問題,因此我們必須同軸承的負荷分配同時考慮。

      方程(4.1a),(4.1b)仍然可以被用來求解軸系的負荷分配,只不過齒時應(yīng)表在成如下形式:

      同樣,y方向上有

      齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒之間的作用力處理成外力,其中Mx0p,My0p代表作用在第k個軸段上推力軸承在xz和yz平面內(nèi)的由正壓力P所引起力矩分量;而Mx0, My0則表示推力軸承在x和y方向上的油膜力分量,在我處理的系統(tǒng)中沒有推力軸承所以Mx0p,My0p,Mx0,My0為零;Fx0j,Fy0j則表示由徑向軸承所提供的油膜反力;Pg-則為轉(zhuǎn)子及圓盤重力;Fx0L,Fy0L,Mx0L,My0L為齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩。由于徑向軸承油膜反力Fx0j和Fy0j為x,y的非線性函數(shù),齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩Fx0L,Fy0L,Mx0L,My0L也是內(nèi)外齒相對位移的函數(shù)。因此,要得到齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的靜平衡位置及系統(tǒng)軸承的負荷分配,迭代過程是不可缺少的。

      對于系統(tǒng)的全部質(zhì)點列出方程(4.23),并寫成矩陣的形式:

      [S]{X}={F}-{Pj}                                          4.24

      這時[S]為系統(tǒng)的剛度矩陣,{F}為包括由重力,齒輪聯(lián)軸器內(nèi)處齒所受到的力和力矩在內(nèi)的廣義力;{ Pj }為徑向軸承提供的油膜反力。{X}為包含(x,y,,ψ)在內(nèi)的位移向量。

      令{x2}代表徑向軸承作用點處的線位移,{x1}為其余點上的線位移和全部的角位移,其中{x1}包含齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的位移,設(shè)為{x1}L,則方程(4.24)可重新寫成:

      在方程(4.25)中{F1},{F2}為對應(yīng)于{x1},{x2}的廣義力向量,其中也包括了齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩。{Pj}則僅由徑向軸承提供的油膜反力組成。當{F1},{F2}和{x2}已知時,可解得{x1},{Pj}。

      其中{F1}(k+1),{F2}(k+1)中齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩由式(4.34)得到的{x1}(k+1)中齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的位移代入到第三章中的公式得到。由上面的迭代式可得到齒輪聯(lián)軸器及軸承的靜態(tài)平衡位置。

      §4.5  系統(tǒng)自由振動特征值問題的求解

      對振動和穩(wěn)定性分析,需要求解形如(4.21)式的特征值問題

      (λ2M+λC+K)φ=0                     4.35

      由于耦合作用和滑動軸承的轉(zhuǎn)子動力學(xué)系數(shù)的非對稱性,質(zhì)量陣M、阻尼陣C和剛度陣K都是非對稱陣。但這樣的轉(zhuǎn)子系統(tǒng),具有以下兩個特點:(i)矩陣M、C、K都是大型帶狀稀疏矩陣;(ii)在工程上,人們僅對其低階特征值及特征向量感興趣。

      形如(4.35)式的二次特征值問題可以化為一般的廣義特征問題求解,求解一般的廣義特征值問題可以用QR方法,Lanczos方法等,但是傳統(tǒng)的QR方法將破壞系統(tǒng)的上述兩個特點,從而導(dǎo)致需花費大量機時和存儲空間,而Lanczos方法應(yīng)用于非對稱問題,其數(shù)值穩(wěn)定性往往很差。所以這兩種方法應(yīng)用于(4.43)那樣的系統(tǒng)都不能令人滿意。

      文獻介紹了一種廣義逆迭代法,該算法直接在原n階規(guī)模上進行反迭代,而在迭代的同時把系統(tǒng)(4.35)科化為一個小型線性標準特征值問題,算法不涉及復(fù)數(shù)運算且充分顧及了系統(tǒng)(4.35)的兩個特點,該方法不僅適合于對稱矩陣系統(tǒng)問題,而且適合于非對稱矩陣系統(tǒng)問題,文獻等對此都有詳細介紹。本文就應(yīng)用該方法求解系統(tǒng)特征值問題。

      §4.6  系統(tǒng)強迫振動響應(yīng)求解

      轉(zhuǎn)子存在外激勵時系統(tǒng)的振動方程為:

                    4.36

      F為廣義外激勵力,為復(fù)數(shù),可統(tǒng)一表示為

      F=(FR+jFl)eiwst            4.37

      其中為FR為實部,為Fl的虛部,ωs為激振頻率,設(shè)式(4.36)的解為

      X=X0eiwst=(XR0+jXl0) eiwst            4.38

      將式(4.37)和式(4.38)代入式(4.36),按實部、虛部展開并寫成矩陣形式,得

      利用高期消去法,可得到(4.39)式的解,即XR0與XI0,最后可根據(jù)響應(yīng)的實部與虛部,求得響應(yīng)橢圓的長短軸及相位。

      §4.7  小結(jié)

      1)用集總質(zhì)量法建立 了齒輪聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)的振動方程。

      2)一般;蟮凝X輪聯(lián)軸器的剛度是相對位移的非線性函數(shù),為了得到線性振動方程,引入齒輪聯(lián)軸器靜態(tài)平衡位置概念,求出齒輪聯(lián)軸器靜態(tài)平衡位置處的剛度,進而得到軸系的彎扭耦合振動方程。

      3)齒輪聯(lián)軸器靜態(tài)平衡位置的確定要與軸承同時考慮。

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