§4.3 齒輪聯(lián)軸器—轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)彎扭耦合固有振動方程
對圖4.4所示的齒輪連軸器—轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)，用上節(jié)所述方法，可以寫出齒輪聯(lián)軸器連接的兩段軸及聯(lián)軸器中間的彎曲振動方程和扭轉(zhuǎn)振動方程，之后將它們聯(lián)立起來，可得到如下形式
我們稱
為準總質(zhì)量陣，
為準總阻尼陣，
為準總剛度陣。位移向量：
其中，上標（w）、（N）分別表示外齒輪和內(nèi)齒輪，下標i=1，…，n-1表示集總質(zhì)量所在節(jié)點號，下標j=1，…j，…Q表示第j個半齒聯(lián)軸器，ΔFxjw，ΔFyjw表示齒輪動態(tài)嚙合力在x，y方向的分量，ΔMjw，ΔNjw為計入齒寬影響時作用在齒面上的附加力矩。之所以稱為準質(zhì)量陣，為準阻尼陣，為總剛度陣，乃是因為式（4.20）還不是彎扭耦合振動方程的最終形式。這是因為1）：式（4.20）右端含有未知力ΔFxjk，ΔFyjk，ΔMjk，ΔNjk，ΔTj，（k=w，N），方程組中未知量個數(shù)多于方程個數(shù)；2）：ΔFxjk，ΔFyjk，ΔMjk，ΔNjk，ΔTj，（k=w，N）是本征的。必須解決上述這兩個問題，才能得到彎扭耦合振動方程。因而我們還需要尋求一種關(guān)系，通過這種關(guān)系，解決上述兩個問題，使得各轉(zhuǎn)子的彎扭振動及轉(zhuǎn)子間的彎扭振動耦合起來，并使彎扭耦合振動的方程組有定解，即最終使（4.20）式化為如下標準形式
M，C，K分別為彎扭耦合振動方程的總質(zhì)量陣，總阻尼陣和總剛度陣。
§4.4 彎扭耦合振動模型研究
上兩章我們已經(jīng)對齒輪聯(lián)軸器接觸特性，力學(xué)特性進行了分析。從分析中可知齒輪聯(lián)軸器接觸特性，力學(xué)特性非常復(fù)雜，我們不可能向文獻處理外齒輪那樣，通過小擾動下的幾何關(guān)系來得到動態(tài)力和力矩，從而導(dǎo)出如式（4.21）標準形式的彎扭耦合振動方程。因為由上章的討論可知，如果假設(shè)齒是剛性，則齒輪軸發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)振動時，可能發(fā)生沖擊或?qū)е孪到y(tǒng)方程的非線性，為了解決這個問題你們采用類似軸承的處理方法，直接把齒輪聯(lián)軸器在靜平衡位置�；癁�25個剛度系數(shù)（其具體的求解如第三章所述），當齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)外齒在此平衡位置發(fā)生微小擾動時認為聯(lián)軸器的剛度不變，則齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受的動態(tài)力和力矩可用下式表示：
因此通過聯(lián)軸器的剛度[KijL]5×5（由第三章求得）把動態(tài)力和力矩表示成內(nèi)外齒相對位移的顯函數(shù)，從而得到齒輪聯(lián)軸器連接軸系的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動方程。
§4.4.1 靜態(tài)平衡位置的確定
從上面的分析可知，齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)外齒是在某個平衡位置發(fā)生微小擾動，因此齒輪聯(lián)軸器的剛度應(yīng)是在某一平衡位置處的剛度，其關(guān)鍵是如何確定靜態(tài)平衡位置。一般由齒輪聯(lián)軸器連接的多支承軸承的系統(tǒng)中，各軸承的承受載荷及聯(lián)軸器的附加載荷成為靜不定問題，因此我們必須同軸承的負荷分配同時考慮。
方程（4.1a），(4.1b)仍然可以被用來求解軸系的負荷分配，只不過齒時應(yīng)表在成如下形式：
同樣，y方向上有
齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒之間的作用力處理成外力，其中Mx0p,My0p代表作用在第k個軸段上推力軸承在xz和yz平面內(nèi)的由正壓力P所引起力矩分量；而Mx0, My0則表示推力軸承在x和y方向上的油膜力分量，在我處理的系統(tǒng)中沒有推力軸承所以Mx0p,My0p，Mx0,My0為零；Fx0j,Fy0j則表示由徑向軸承所提供的油膜反力；Pg-則為轉(zhuǎn)子及圓盤重力；Fx0L,Fy0L，Mx0L,My0L為齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩。由于徑向軸承油膜反力Fx0j和Fy0j為x,y的非線性函數(shù)，齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩Fx0L,Fy0L，Mx0L,My0L也是內(nèi)外齒相對位移的函數(shù)。因此，要得到齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的靜平衡位置及系統(tǒng)軸承的負荷分配，迭代過程是不可缺少的。
對于系統(tǒng)的全部質(zhì)點列出方程（4.23），并寫成矩陣的形式：
[S]{X}={F}-{Pj} 4.24
這時[S]為系統(tǒng)的剛度矩陣，{F}為包括由重力，齒輪聯(lián)軸器內(nèi)處齒所受到的力和力矩在內(nèi)的廣義力；{ Pj }為徑向軸承提供的油膜反力。{X}為包含（x,y,
,ψ）在內(nèi)的位移向量。
令{x2}代表徑向軸承作用點處的線位移，{x1}為其余點上的線位移和全部的角位移，其中{x1}包含齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的位移，設(shè)為{x1}L,則方程（4.24）可重新寫成：
在方程（4.25）中{F1}，{F2}為對應(yīng)于{x1},{x2}的廣義力向量，其中也包括了齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩。{Pj}則僅由徑向軸承提供的油膜反力組成。當{F1}，{F2}和{x2}已知時，可解得{x1},{Pj}。
其中{F1}（k+1），{F2}(k+1)中齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒所受到的力和力矩由式（4.34）得到的{x1}(k+1)中齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的位移代入到第三章中的公式得到。由上面的迭代式可得到齒輪聯(lián)軸器及軸承的靜態(tài)平衡位置。
§4.5 系統(tǒng)自由振動特征值問題的求解
對振動和穩(wěn)定性分析，需要求解形如（4.21）式的特征值問題
（λ2M+λC+K）φ=0 4.35
由于耦合作用和滑動軸承的轉(zhuǎn)子動力學(xué)系數(shù)的非對稱性，質(zhì)量陣M、阻尼陣C和剛度陣K都是非對稱陣。但這樣的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，具有以下兩個特點：（i）矩陣M、C、K都是大型帶狀稀疏矩陣；（ii）在工程上，人們僅對其低階特征值及特征向量感興趣。
形如（4.35）式的二次特征值問題可以化為一般的廣義特征問題求解，求解一般的廣義特征值問題可以用QR方法，Lanczos方法等，但是傳統(tǒng)的QR方法將破壞系統(tǒng)的上述兩個特點，從而導(dǎo)致需花費大量機時和存儲空間，而Lanczos方法應(yīng)用于非對稱問題，其數(shù)值穩(wěn)定性往往很差。所以這兩種方法應(yīng)用于（4.43）那樣的系統(tǒng)都不能令人滿意。
文獻介紹了一種廣義逆迭代法，該算法直接在原n階規(guī)模上進行反迭代，而在迭代的同時把系統(tǒng)（4.35）科化為一個小型線性標準特征值問題，算法不涉及復(fù)數(shù)運算且充分顧及了系統(tǒng)（4.35）的兩個特點，該方法不僅適合于對稱矩陣系統(tǒng)問題，而且適合于非對稱矩陣系統(tǒng)問題，文獻等對此都有詳細介紹。本文就應(yīng)用該方法求解系統(tǒng)特征值問題。
§4.6 系統(tǒng)強迫振動響應(yīng)求解
轉(zhuǎn)子存在外激勵時系統(tǒng)的振動方程為：
4.36
F為廣義外激勵力，為復(fù)數(shù)，可統(tǒng)一表示為
F=（FR+jFl）eiwst 4.37
其中為FR為實部，為Fl的虛部，ωs為激振頻率，設(shè)式（4.36）的解為
X=X0eiwst=(XR0+jXl0) eiwst 4.38
將式（4.37）和式（4.38）代入式（4.36），按實部、虛部展開并寫成矩陣形式，得
利用高期消去法，可得到（4.39）式的解，即XR0與XI0，最后可根據(jù)響應(yīng)的實部與虛部，求得響應(yīng)橢圓的長短軸及相位。
§4.7 小結(jié)
1）用集總質(zhì)量法建立 了齒輪聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)的振動方程。
2）一般�；蟮凝X輪聯(lián)軸器的剛度是相對位移的非線性函數(shù)，為了得到線性振動方程，引入齒輪聯(lián)軸器靜態(tài)平衡位置概念，求出齒輪聯(lián)軸器靜態(tài)平衡位置處的剛度，進而得到軸系的彎扭耦合振動方程。
3）齒輪聯(lián)軸器靜態(tài)平衡位置的確定要與軸承同時考慮。
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