第三章齒輪聯(lián)軸器剛度分析及測(cè)試

§3.1簡(jiǎn)述

本章主要對(duì)齒輪聯(lián)軸器本身的靜動(dòng)特性進(jìn)行研究，由上一章齒輪聯(lián)軸器嚙合特點(diǎn)對(duì)齒輪聯(lián)軸器力學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，據(jù)此模型對(duì)齒輪聯(lián)軸器進(jìn)行了力學(xué)分析，推導(dǎo)靜平衡方程，并在穩(wěn)態(tài)情況下對(duì)剛度進(jìn)行線性化處理；用數(shù)值的方法對(duì)其附加力、附加力矩和齒輪聯(lián)軸器的剛度進(jìn)行了計(jì)算。本章還推導(dǎo)了齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒面相對(duì)速度公式，推導(dǎo)了齒面間存在干磨擦情況下的靜平衡方程，計(jì)算了磨擦力對(duì)齒輪附加力，附加力矩的影響。為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)，設(shè)計(jì)了試驗(yàn)裝置，對(duì)鼓形齒及直齒聯(lián)軸器附加力矩進(jìn)行了試驗(yàn)和測(cè)試，與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。

§3.2齒輪聯(lián)軸器剛度的定義

設(shè)齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)外齒輪發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)角和徑向位稱（x₀,y₀,₀,ψ₀,θ₀）時(shí)，附加到內(nèi)外齒輪的力分別為Fx,Fy,F,F_ψ,Fθ其中F_X，F(xiàn)_y為沿（x,y）軸方向的分力，F(xiàn),F_ψ是繞（x,y）軸的彎矩，F(xiàn)_θ是扭矩，一般說F_x,F_y,F,F_ψ,F_θ是內(nèi)外齒輪相對(duì)位移（x,y,, ψ, θ）的函數(shù)，既：FH（x,y,, ψ, θ）其中H= x,y,, ψ, θ。其在靜態(tài)平衡位置（x₀,y₀,₀,ψ₀,θ₀）處齒輪聯(lián)軸器剛度為：

由此可以定義齒輪聯(lián)軸器25個(gè)剛度系數(shù)。其寫成矩陣形式為：

[KLH]_5×5其中L，H= x,y,, ψ, θ
其意義為：內(nèi)外齒在平衡位置（x₀,y₀,₀,ψ₀,θ₀）外，由于L方向的微小位移，在H方向上增加的力。L=H為主剛度，L≠H為叉剛度。

上面的定義方法類似于軸承動(dòng)剛度的定義，即在某一個(gè)平衡位置（x₀,y₀,₀,ψ₀,θ₀）處定義齒輪聯(lián)軸器剛度，從面齒輪聯(lián)軸器剛度可簡(jiǎn)化成如圖3.1所示的模型。從上面的分析可以看出，要求得齒輪聯(lián)軸器的剛度，首先必須對(duì)內(nèi)外齒輪進(jìn)行受力分析，列出靜平衡方程FH（x,y,, ψ, θ）。

§3.3  靜平衡方程的前置預(yù)處理和基本假設(shè)

§3.3.1  齒輪聯(lián)軸器模型與外齒輪模型的區(qū)別

外齒輪嚙合和齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合區(qū)別如圖3.2a、3.2b。其外齒輪在傳動(dòng)過程中其嚙俁線僅有一條且與兩個(gè)外齒輪相內(nèi)爭(zhēng)，而齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合具有多齒接觸的特點(diǎn)，它嚙合線不只一條，其方向沿整個(gè)圓周方向并不一致。

§3.3  靜平衡方程的前置預(yù)處理和基本假設(shè)

§3.3.1  齒輪聯(lián)軸器模型與外齒輪模型的區(qū)別

外齒輪嚙合和齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合區(qū)別如圖3.2a、3.2b。其外齒輪在傳動(dòng)過程中其嚙俁線僅有一條且與兩個(gè)外齒輪相內(nèi)爭(zhēng)，而齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合具有多齒接觸的特點(diǎn)，它嚙合線不只一條，其方向沿整個(gè)圓周方向并不一致。

在以往對(duì)外齒輪模型簡(jiǎn)化時(shí)主要采用兩種方法如圖3.3a、3.3b幾何模型和力學(xué)模型。在幾何耦合模型中，齒輪輪齒被視為剛體。假定：1.嚙合過程中輪齒始終保持接觸，不脫嚙。2.嚙合線方向保持不變。要滿足假設(shè)1，按兩齒輪接觸表面法向速度相等原則：

對(duì)式3.2兩邊積分可得到相應(yīng)位移擾動(dòng)關(guān)系：

從而得到彎扭之間的關(guān)系式。

但這種模型假設(shè)不適合處理齒輪聯(lián)軸器，因?yàn)椴捎眠@種剛體齒模型，當(dāng)齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒發(fā)生微小位移時(shí)，齒輪聯(lián)軸器將從完全對(duì)中時(shí)的多齒接觸狀態(tài)，變?yōu)閱锡X接觸，其附加力將發(fā)生突變，使我們將無(wú)法在線性范圍內(nèi)對(duì)其進(jìn)行討論，而且實(shí)際上由于齒的彈性，在內(nèi)外齒輪發(fā)生相對(duì)位移時(shí)附加到齒輪聯(lián)軸器的力并不是突然集中到某一個(gè)齒上，而是有一個(gè)變化的過程，因此我們應(yīng)采用彈性齒模型。但它又不同于采用彈性齒的外齒輪力學(xué)模型，在外齒輪的力學(xué)模型中，將齒輪本體視為剛體，輪齒為彈性體，假定：1 、齒輪嚙合過程中始終保持接觸，不脫齒；2 、嚙合線方向保持不變。輪齒剛度簡(jiǎn)化成沿嚙合線方向的彈簧如圖3.3b 所示，這是Lund 所采用的齒輪彎扭耦合模型，其位移協(xié)調(diào)關(guān)系如下：

( x_l-x₂)cosα+（y₁-y₂)sinα-r₁θ₁-r₂θ₂-(k₁+k₂)P=ε　　　　3.4

其中α為嚙合線與x 軸的夾角，r₁、r₂為齒輪基圓半徑，x₁、y₁、x₂、y₂為橫向位移，θ₁、θ₂為扭轉(zhuǎn)角位移，k₁、k₂為二嚙合齒沿嚙合線方向的柔度，P為動(dòng)態(tài)嚙合力，ε為嚙合誤差。式3.4 的前提是齒輪嚙合剛度不變，嚙合過程中不脫齒，嚙合線方向保持不變。

但齒輪聯(lián)軸器則不同，由于其多齒接觸的特點(diǎn)，不象外齒輪那樣具有一條嚙合線，而是有若干條嚙合線，方向各不相同，且每個(gè)齒對(duì)所提供有效嚙合剛度的大小和方向也不同，因此處理外齒輪方法并不適合齒輪聯(lián)軸器。因此我們?cè)趯?duì)齒輪聯(lián)軸器剛度模化時(shí)，要根據(jù)其多齒接觸特點(diǎn)，選擇一個(gè)固定參考坐標(biāo)系，將整個(gè)圓周上的所有齒對(duì)有效嚙合剛度（即該齒對(duì)接觸部分的嚙合剛度）折合到參考坐標(biāo)系中，可以說齒輪聯(lián)軸器剛度�；�的實(shí)質(zhì)是一折合剛度。其剛度的大小與齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪原始相對(duì)位移（靜態(tài)位置）有很大關(guān)系，因?yàn)樵诓煌瑑?nèi)外齒輪相對(duì)位移下，齒輪聯(lián)軸器承載的齒數(shù)及接觸位置將發(fā)生變化，每個(gè)齒對(duì)有效嚙合剛度的大小和在整個(gè)圓周的分布位置也將發(fā)生變化，從而影響折合剛度大小。因此我們?cè)谔幚睚X輪聯(lián)軸器模型時(shí)引入靜態(tài)平衡位置的概念，在靜平衡位置處對(duì)其剛度進(jìn)行線性化處理，這是本文研究齒輪聯(lián)軸器剛度的主要思路。

從上面分析可知由于齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合的復(fù)雜性，使得對(duì)模型的處理要比處理外齒輪嚙合復(fù)雜的多。我們必須弄清齒輪聯(lián)軸器對(duì)的接觸狀態(tài)以及載荷分布特點(diǎn)，以便建立合理的力學(xué)模型。第二章已經(jīng)對(duì)接觸狀態(tài)進(jìn)行分析，下面對(duì)齒的載荷分布進(jìn)行討論。

§3.3.2  齒面載荷分布及齒輪聯(lián)軸器力學(xué)模型建立

目前對(duì)齒輪的載荷分布問題的理論研究大致可以歸納為以下4 種：

1 ．按ISO觀點(diǎn)對(duì)載荷的分布，假定載荷均勻分布于齒的接觸線上，由此求得由于支承系統(tǒng)和齒輪的變形所引起的載荷分布不均。

2 ．根據(jù)支承變形和齒輪變形的平衡條件建立微分方程用數(shù)值方法求解。

3 ．假定某種載荷的分布，用迭代的方法求解。

4 ．由兩接觸物體間接觸區(qū)離散點(diǎn)的變形，以線性規(guī)劃的單純形法為工具，用數(shù)值分析的方法，求解齒輪的載荷分布。

這些方法繁簡(jiǎn)不同，優(yōu)劣個(gè)具，其中應(yīng)用廣泛，考慮影響因素較為系統(tǒng)全面，但卻較復(fù)雜，其中忽略了材料的連續(xù)性和齒端面柔度較大因素的影響，將使計(jì)算結(jié)果是近似的。另外三種方法都是隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用而提出的較為精確的數(shù)值計(jì)算方法，使問題的解決更符合實(shí)際情況。

計(jì)算齒輪聯(lián)軸器的載荷分布理論模型很多：中島Is ］等人把齒輪聯(lián)軸器每個(gè)嚙合齒對(duì)�；癁橐粋�(gè)彈簧，而忽略因?yàn)閮?nèi)外齒端面接觸造成內(nèi)外齒嚙合剛度下降的影響；文獻(xiàn)181 為了考慮齒輪本身周節(jié)誤差對(duì)載荷分布的影響，把齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒作為兩個(gè)矩形齒齒條處理，其實(shí)質(zhì)也是將內(nèi)外齒模化成一個(gè)彈簧：其上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)是模型簡(jiǎn)單，可以較方便估計(jì)出齒輪聯(lián)軸器的主要承載齒對(duì)，但此方法不能計(jì)算每一對(duì)齒的載荷分布，且把每一對(duì)齒的剛度看成是不變的，即忽略齒對(duì)接觸面積不同其剛度變化的因素，因此這種方法過于簡(jiǎn)單，對(duì)于齒輪聯(lián)軸器整體剛度的計(jì)算影響很大。日本的土居良規(guī)等人［' 41 在齒輪花鍵軸齒面載荷分布的計(jì)算中，把齒輪進(jìn)行了片狀離散化處理；王秀琦［6l 等人把整個(gè)接觸齒面離散成若干個(gè)點(diǎn)；這兩種模型共同的特點(diǎn)是把內(nèi)外齒看成是若干剛度相等彈簧組成，同時(shí)忽略了材料的連續(xù)性，從而初步討論了載荷沿齒面方向的分布；但這兩種方法都沒有計(jì)入齒輪嚙合剛度的邊緣效應(yīng)。

對(duì)于鼓形齒聯(lián)軸器來(lái)說，由于外齒輪是鼓形，內(nèi)齒輪的嚙合狀態(tài)比較復(fù)雜，齒面的接觸狀態(tài)及載荷分布也比較復(fù)雜，我們不可能得到齒面載荷的準(zhǔn)確分布，只能對(duì)其進(jìn)行近似的擬和。根據(jù)第二章的結(jié)論可知，在無(wú)載荷的狀態(tài)下,鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒齒面的等間隙圖曲線沿齒輪的軸向呈帶狀分布，沿齒高方向的間隙的變化梯度很小，其齒高方向間隙可以用相應(yīng)分度圓上的間隙來(lái)代替。由此我們可以推斷，由于載荷的作用，齒發(fā)生彈性變形，如果某一對(duì)齒受載相互接觸，其首先在最小間隙附近齒對(duì)接觸，而且齒面接觸區(qū)域的形狀近似呈帶狀，其力在整個(gè)接觸區(qū)域內(nèi)的分布也近似為帶狀分布且沿齒高的方向上力的梯度小，可以看成是均勻分布，沿齒幅的方向上力的梯度大。為了對(duì)該載荷分布進(jìn)行很好的擬合，參考ISO 對(duì)載荷的分布的處理方法以及上面所提到對(duì)齒聯(lián)軸器載荷分布的第二種模型，再結(jié)合第二章的結(jié)論，我們把鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒沿齒向離散成若干微元。本文對(duì)其齒對(duì)模化的特點(diǎn)是計(jì)及了齒輪聯(lián)軸器嚙合剛度的邊緣效應(yīng)（內(nèi)外齒端面接觸時(shí)嚙合剛度較�。┖凸男瘟康纫蛩�，具體�；�方法和基本假設(shè)如下：

把輪齒沿齒輪的軸向進(jìn)行離散化，將其分割成M 微元，每一微元的寬度為b_j，其中b_j＝B / M , B 是齒的寬度，當(dāng)分割微元的寬度很小時(shí)，其該微元齒面載荷的分布近似均勻，把齒面沿齒高方向的分布力等效到分度圓上為了簡(jiǎn)化計(jì)算我們作以下假設(shè)：

1 ．假設(shè)外齒第j個(gè)微元在與內(nèi)齒接觸變形時(shí)，其變形量等效到分度圓輪廓的法向處理。

2 ．把每一個(gè)微元嚙合齒對(duì)看作是相互獨(dú)立互不影響的彈簧，忽略了材料的連續(xù)性，其方向沿分度圓外輪廓的法向。

3 ．齒的誤差、變形以及原始間隙都等效到分度圓上處理。

由上面簡(jiǎn)化可以得到每齒對(duì)簡(jiǎn)化的力學(xué)模型：如圖3.4 。所以我們可以用第j 個(gè)微元第i 個(gè)齒廓法向嚙合剛度k_j與第j 微元第i 個(gè)齒對(duì)內(nèi)外齒沿分度圓齒廓法向相對(duì)變形δ_ji,的乘積，即f_ji=k_jδ_ji來(lái)表示第j分微元第i個(gè)齒分度圓上受到的等效力f_ji。則用此數(shù)值方法可以方便計(jì)算出每個(gè)齒的載荷分布，其中f_i=,f_i為載荷分配到第i個(gè)齒的分額。f_ji在j=1，2，3……M時(shí)表示第i個(gè)齒齒面沿軸向的分布，從而計(jì)算出整個(gè)齒輪聯(lián)軸器的受力情況。具體的計(jì)算由下節(jié)給出。

此方法的優(yōu)點(diǎn)：

1.可以記入齒輪沿齒向鼓形量和誤差。

2.與ISO模型和模型相比本文記入輪齒嚙合剛度在齒的邊緣較小因素的影響，引入剛度沿齒面分布系數(shù)（具體由下節(jié)計(jì)算）。

3.可以運(yùn)用數(shù)值方法對(duì)聯(lián)軸器的附加力和力矩及齒輪聯(lián)軸器折合剛度進(jìn)行求解。

本章所涉及的幾個(gè)坐標(biāo)：
1）O—XYZ：是固定坐標(biāo)系，O是內(nèi)外齒輪對(duì)中時(shí)內(nèi)外齒輪中心Z是齒輪聯(lián)軸器的軸向。

2）O^K-X^KY^KZ^K：分別代表固定在內(nèi)外齒輪上的坐標(biāo)，O^K是內(nèi)外齒輪中心（k=N，w表示內(nèi)外齒輪）。

3）:表示固結(jié)在第j個(gè)分割微無(wú)上的坐標(biāo)，是軸向第j個(gè)分割微元的中心（k=N,w表示內(nèi)外齒輪j=1,2……M）。

4）:是固結(jié)在第j分割微元第i個(gè)齒上的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)是分度圓齒廓切線方向，是齒廓法向方向，是軸向第j個(gè)分割微元的中心（k=N,w表示內(nèi)外齒輪j=1,2……Nz）。

§3.4  齒輪聯(lián)軸器靜平衡方程

§3.4.1  齒對(duì)嚙合剛度及分布系數(shù)

由前面的處理和假設(shè)分布力等效到分度圓上，則單齒對(duì)嚙合剛度也是在分度圓上定義的，其定義如下：

使一對(duì)嚙合齒對(duì)在單位齒寬上、沿分度圓法向上、產(chǎn)生平均單位撓度所施加在分度圓齒廓法線方向的等效載荷。

具體計(jì)算時(shí)一般把單位齒寬上施加均勻的分布力等效到分度圓上、計(jì)算出單位齒寬的沿分度圓齒廓法線方向平均位移。設(shè)f 是施加在單位齒寬分度圓法向上的分布力，δ產(chǎn)生的平均位移，則該處單位齒齒寬的剛度為：

k=f/δ                             3.5

因?yàn)樵谕�一位置不同的載荷下有不同的剛度值，一般我們?nèi)�幾個(gè)剛度的平均值。另外在齒的軸向不同的位置接觸時(shí)，齒所表現(xiàn)的剛度也不同，一般齒寬中央的剛度大而到兩端的剛度小，我們引入剛度系數(shù)k_s，k_s代表在齒寬不同的位置的單位齒寬的剛度與齒寬中央單位齒寬剛度的比值，是一個(gè)相對(duì)值，我們可以在齒寬方向上擬合出一條（k_s---B_j）曲線。其中：B_j是齒寬方向的位置，k_s=k_j/k₀,下一節(jié)我們用有限元法計(jì)算此值。

為了計(jì)及齒輪的邊緣效應(yīng)，即一對(duì)齒在邊緣接觸時(shí)其嚙合剛度有下降的特性。我們采用彈性體三維有限無(wú)數(shù)值計(jì)算。

2）齒輪有限元網(wǎng)格和邊界的劃分

用有限無(wú)法計(jì)算齒輪的變形和應(yīng)力的應(yīng)用程序很多，理論也非常成熟，有專門有限元通用軟件。影響計(jì)算結(jié)果的主要原因有：邊界范圍的選擇，單元形式的選擇。為了減少計(jì)算是境和對(duì)計(jì)算機(jī)容量的要求，通常取一個(gè)齒輪為計(jì)算模型。

1）邊界范圍的選擇

對(duì)于外齒輪Daimler-Benz公司選取邊界的方法是先取半個(gè)齒輪進(jìn)行有限無(wú)計(jì)算，這是從整體來(lái)考慮問題，然后根據(jù)計(jì)算的結(jié)果來(lái)選擇邊界的范圍，其所定的邊界寬度如圖3.5a，S₁=6.1m，m是齒輪的模數(shù)。Chaber所取的邊界的方法是考慮圣維需原理，其所定的邊界深度為S₂=1.5m。綜合以上兩者的研究，用有限無(wú)計(jì)算外齒的變形，計(jì)算模型的邊界范圍可�。�

S₁≥6.1m ,S₂≥1.5m

其內(nèi)齒的邊界范圍如果齒圈的厚度很薄時(shí)為了記及齒圈的變形取半個(gè)齒輪，如圖3.5b所示：

2）邊界上各節(jié)點(diǎn)的約速條件

邊界上各節(jié)點(diǎn)的約速條件對(duì)計(jì)算結(jié)果影響也很大，具體的約速條件與齒輪的結(jié)構(gòu)有關(guān)，一般有：給定邊界節(jié)點(diǎn)的位移，給定邊界節(jié)點(diǎn)的載荷，自由邊界點(diǎn)。本計(jì)算中所選擇的邊界條件如圖3.5a所示，底面A側(cè)面B、C選擇為固定邊界其他面的邊界節(jié)點(diǎn)為自由邊界。內(nèi)齒輪選擇的邊界條件如圖3.5b所示

3）網(wǎng)格的劃分和單無(wú)類型的選擇

鼓形齒和內(nèi)齒的網(wǎng)格劃分，采用8節(jié)點(diǎn)的三維實(shí)體模型

4）節(jié)點(diǎn)載荷

根據(jù)上一章的結(jié)論齒寬方向間隙呈帶狀分布，在齒高方向變化梯度小我們可以推斷出在齒對(duì)受載變形時(shí)，其接觸區(qū)域的形狀也近似呈帶狀分布，且沿齒高方向接觸區(qū)域力的分布近似均勻，如果網(wǎng)格在軸向分割寬度很小時(shí)則力的分布近似為均勻。其把齒面的分布載荷等效到各個(gè)節(jié)點(diǎn)上載荷。

5）位稱和剛度分布系數(shù)計(jì)算

假設(shè)沿軸向?qū)�齒分割成M微元，每一分割微元寬度為b_j包括個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過三維彈性實(shí)體有限元程度計(jì)算出在分度圓上節(jié)點(diǎn)沿齒廓法線方向上的位移為δ_i，i=1，2，3，……L，則分度圓平均位移為：,設(shè)等效到分度圓上的分布力為f_j（單位Kg/mm），所以在b_j處單位寬度所求得的等效剛度為：k _j=f_j/。設(shè)齒中央處等效剛度為k_o，對(duì)k_j值進(jìn)行無(wú)量綱化即可以得到沿齒寬方向剛度分布系數(shù)k_sj。

計(jì)算實(shí)例，聯(lián)軸器內(nèi)外尺參數(shù)：模數(shù)2.0mm；齒數(shù)：20齒；內(nèi)外齒寬分別為：15mm、15；壓力角為：20°:鼓形量為：96；內(nèi)齒圈外徑：60mm。分割成10個(gè)微元，則外齒輪內(nèi)齒輪沿齒寬方向的剛度分布圖3.6a、3.6b�？v坐標(biāo)為剛度分布系數(shù)，其無(wú)量綱參數(shù)選則三種載荷下外齒中央處等效剛度的平均值：k0=1920kg/mm2(曲線1是f_j=1.2kg/mm、2是f_j=1.0kg/mm、3是f_j=0.8kg/mm),橫坐標(biāo)是齒寬無(wú)量綱值（元量綱參數(shù)為齒寬一半），內(nèi)外齒邊緣的剛度比齒寬中央剛度概小20%，內(nèi)外齒邊緣接觸時(shí)嚙合剛度要比齒寬中央嚙合剛度來(lái)得小。

k_j^W,k_j^N分別表示內(nèi)外齒輪對(duì)應(yīng)第j微元的剛度，b^w_j=b^N_j 是分割微元的寬度；

k_sj^w,k_sj^N是齒輪中央處單位齒寬剛度的平均值，j=1,2,3……M。

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