求上式表達的最小值，就是將嚙合定位角 在其取值范圍內(nèi)進行一維搜索，以獲得最小結(jié)果。從而：

用B_b表示滾柱的工作長度b與直徑的比值，則：

b=2T_ZB_b                                 （5.6）

B_b的值通常在1和2之間。

將式（5.5）與（5.6）代入式（3.25）并整理后可得：

由上式，可根據(jù)激波器與內(nèi)滾子的許用接觸應(yīng)圖[σ]_HJ來確定激波器半徑的取值范圍。

將傳動參數(shù)代入式（3.30）中，并令：

則外滾子中心軌跡的曲率k₂可表示為：

上式中最大值的求法，也是以嚙合定位角為變量，在其取值范圍內(nèi)進行一維搜索，從而求得極大值，由此可得如下的表示式：

上式為根據(jù)內(nèi)齒圈與外滾子的許用接觸應(yīng)力所確定的激波器半徑的取值范圍。顯然激波器半徑T_b的取值應(yīng)同時滿足式（5.9）及式（5.14）的要求。

根據(jù)對現(xiàn)有推桿減速器的統(tǒng)計分析，可獲得傳動參數(shù)的取值范圍。在此范圍內(nèi)，指定一組傳動參數(shù)的值，取同時滿足式（5.9）及式（5.14）的T_b作為激波器半徑，于量：

這組數(shù)據(jù)可用于優(yōu)化設(shè)計變量初值。

5.3約束條件

約束條件主要包括以下幾個方面：

（1）頂切的限制

當有頂切現(xiàn)象發(fā)生時，推桿的工作區(qū)域角將減小，從而導致實際工作推桿數(shù)的減小，使接觸應(yīng)力增大，工作不平穩(wěn)。前已指出，當外滾子中心軌跡曲線在齒頂處的曲率半徑小理滾子半徑時，將發(fā)生頂切。在對應(yīng)齒頂處，激波器轉(zhuǎn)角 ，將其代入式（3.30），可得外滾子中心軌跡曲線在齒頂處的曲率半徑k₂（0）為：

經(jīng)計算可知，有頂切發(fā)生時，使效率隨之有所增高，所以要進一步提高嚙合效率，可去掉此限制條件。

（2）滿足強度條件

根據(jù)前面的分析，強度的約束條件可表示為：

（3）傳動參數(shù)取值范圍

根據(jù)對現(xiàn)有推桿減速器的統(tǒng)計分析，表明傳動參數(shù)的取值范圍通常是：

式中：S_h為軸承許用工作壽命，一般可取5000小時；ω為軸承轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/分）；C為客定動載荷（N），可由軸承查得；f_d為動載荷系數(shù)，可取f_d=1.2～1.4；F_d為軸承所擔負的動載荷：

將式（3.16）及式（3.17）代入上式，并整理可得：

將嚙合定位角 在其取值范圍內(nèi)進行一維搜索，可求得軸承所擔負的最大動載荷。優(yōu)化計算過程中，應(yīng)以最大動載荷代入式（5.21）中的F_d。

5.4優(yōu)化設(shè)計方法步驟

本系統(tǒng)采用的優(yōu)化設(shè)計方法是罰函數(shù)法，由于約束函數(shù)均為不等式約束，故采用內(nèi)點法構(gòu)造懲罰項，即對目標函數(shù)F（X）和約束函數(shù)G_j（X）≤0 ，構(gòu)造如下的的罰函數(shù)：

                                   （5.24）

并使用鮑威爾（POWELL）法求P（X，T^（k））的無約束極小點。
從前面的數(shù)學模型可以看出，盡管效率的計算只與傳動參數(shù)有關(guān)，但接觸應(yīng)力的計算卻要用到實際的設(shè)計變量，傳動參數(shù)僅反應(yīng)了設(shè)計變量的相互關(guān)系，并不能代替設(shè)計變量進行優(yōu)化。
由于激波器一般使用通用軸承，所以激波器半徑T_b應(yīng)結(jié)合軸承標準來選擇。在程序中，先給各傳動參數(shù)指定其取值范圍的中間數(shù)值，然后根據(jù)接觸應(yīng)力計算，確定滿足強度條件的最小激波器半徑，由軸承檢索程序，確定若干個可行的激波器半徑。在確定可行的激波器半徑時，為了使減速器外徑尺寸不致過大，僅把與應(yīng)力計算結(jié)果相近的軸承半徑及其相鄰型號半徑作為可行的激波器半徑。對每一個可行的激器半徑T_b，調(diào)用優(yōu)化子程序以T_Z，e，l為優(yōu)化變量進行優(yōu)化處理。其算法流程如圖5.1所示。

[ 算例]
已知推桿減速器的驅(qū)動功率P₁=7.5KW，轉(zhuǎn)速ω_J=1500 轉(zhuǎn)/分，傳動比i_Jc=12，[σ]_HJ=850N/mm²,[σ]_HN850N/mm²，并假定θ₁=0.003 弧度，θ₂=θ₃=0.012弧度，試優(yōu)化設(shè)計該推桿減速器。
程序中首先應(yīng)求出內(nèi)齒圈齒數(shù)Z_N及輸入扭矩T₁，假設(shè)該減速器按正向結(jié)構(gòu)設(shè)計，則：

Z_N=i_Jc-1=11

T₁=

選B_b1.5，指定 =18，ξ=2，ζ=7。

根據(jù)接觸應(yīng)力計算，求得的激波器半徑取值范圍是T_b≥49.5mm，檢索中窄系列軸承表，選取2個可行的軸承型號，半徑分別為50mm及55mm，優(yōu)化圓整后的結(jié)果列于表5.1

 

表5.1 兩個軸承型號對應(yīng)的不同優(yōu)化結(jié)果

顯然使用第二組參數(shù)效率最高，但若考慮使機構(gòu)尺寸較小，應(yīng)選第一組參數(shù)。

5.5 CAD系統(tǒng)的構(gòu)成及功能

5.5.1硬件組成

本系統(tǒng)是在一臺微型計算機super/386基礎(chǔ)上，增加一塊選進的圖形卡，一臺高分辨率顯示器，數(shù)控接口電路及相應(yīng)設(shè)備，組成了一個微機工作站，如圖5.2所示。

微機內(nèi)存4兆，硬秀120兆，并配有80387協(xié)處理器，為產(chǎn)生副真的三維圖形顯示，系統(tǒng)選用了目前先進的AT2000圖形卡，該卡以TMS34020作為圖形處理芯片，幀緩沖存貯器為4兆，支持11種顯示模式，并配有一臺NEC-5D高分辨圖形顯示器，分辨率為1280×1024，系統(tǒng)采用雙屏工作方式，微機上原配的VGA顯示器用于中文菜單顯示及人機對話，護充的圖形卡用地真實感三難圖形的顯示及工程繪圖。該系統(tǒng)還能直接控制數(shù)控插齒機進行內(nèi)齒圈齒廓的加工。

5.5.2軟件功能模塊設(shè)計

軟件主要由分析設(shè)計、圖形管理、數(shù)據(jù)庫管理及摟控加工四大部分組成，并提供了一個友好的人機交互接口界面用于實現(xiàn)漢字人機對話。本交互接口由三級推拉彈出式菜單組成。軟件模塊結(jié)構(gòu)如圖5.3所示。各大模塊的主要功能及特點如下：

（1）分析設(shè)計模塊
可根據(jù)要求進行常規(guī)設(shè)計或優(yōu)化設(shè)計。能進行機構(gòu)的嚙合效率、受力、強度等計算，并根據(jù)需要檢索數(shù)據(jù)庫中相關(guān)的數(shù)據(jù)。由指定的數(shù)學模型，對機構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。

（2）圖形管理模塊
系統(tǒng)使用特殊需要重點研制和現(xiàn)有Autocad繪圖軟件相結(jié)合的辦法來實現(xiàn)推桿減速器的圖形管理。工程繪圖部分使用Autocad/12.0版軟件，主要用于各種零部件加工圖及裝配圖的生成，以及進行相應(yīng)的尺寸標注。對有些圖形，其數(shù)據(jù)來自婦高級語言組成的計算程序，本系統(tǒng)特別研制了一個用于Autocad接口的處理程序，在使用Autocad的過程中，這個處理程序隨時可被調(diào)用，按指定參數(shù)將計算執(zhí)行后的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成Autocad可接受的數(shù)據(jù)。對于動態(tài)圖形顯示，由于Autocad系統(tǒng)汗銷大，生成圖形速度慢，本系統(tǒng)采用直接用口語言調(diào)用AT2000 圖形卡作圖源語的辦法來實現(xiàn)。其中幾何建模使用結(jié)構(gòu)立體幾何（CSG）表示模式，光照模型采用Phone模型，圖5.4所示三維圖形就是本系統(tǒng)根據(jù)推桿減速器實際參數(shù)生成的。

（3）數(shù)據(jù)庫管理模塊

在推桿減速器的設(shè)計過程中，要翻閱許多手冊，資料及有關(guān)曲線表格，以獲取設(shè)計或校核時所需的各種參數(shù)。例如常用鋼材熱處理后的硬度，許用接觸強度，常用滾動軸承參數(shù)表等，將這些常用的工程數(shù)據(jù)以文件的方式預先存入計算機中，在設(shè)計時由計算機按相關(guān)信息進行檢索，靈活、方便地加以調(diào)用。
建立公共的數(shù)據(jù)段，將表格和曲線圖轉(zhuǎn)化為相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)，使資料的信息交渙更加方便。數(shù)據(jù)庫管理模塊使用網(wǎng)狀關(guān)系結(jié)構(gòu)模式，其數(shù)據(jù)可以按任意方式連妾，具有能修改及補充動態(tài)模式，存貯圖形及相關(guān)信息，對結(jié)構(gòu)進行存貯等功能。

（4）數(shù)控加工模塊
校核所指定的刀具是否在數(shù)控加工過程中會發(fā)生切削干涉，并根據(jù)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果和所選用的刀具生成加工內(nèi)齒圈齒廓時所需的數(shù)據(jù)文件。由數(shù)控驅(qū)動程序控制Y₅₄數(shù)控插齒機完成內(nèi)齒圈齒廓的加工。

5.6動態(tài)圖形仿真

5.6.1圖形仿真在本系統(tǒng)中的作用

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展及圖形設(shè)備的不斷更新，圖形仿真已顯示出越來越大的效益和作用。在CAD中，圖形仿真尤為重要，如果能通過計算機自動分析，實現(xiàn)設(shè)計、制造過程中的動態(tài)仿真，人們就不僅能根據(jù)數(shù)據(jù)進行判斷，而且能在顯示設(shè)備的屏幕上觀察設(shè)計和制造過程中幾何形體的動態(tài)變化。通過仿真，可進行干涉檢查，確定初始設(shè)計邊界條件。在本系統(tǒng)中，動態(tài)圖形仿真主要用于機構(gòu)運動仿真，零件裝配仿真及數(shù)控加工仿真。

對于新設(shè)計出的運動機構(gòu)，動態(tài)圖形仿真能使設(shè)計者觀察其運轉(zhuǎn)是否正常，運轉(zhuǎn)過程中是否有干涉現(xiàn)象，以及外觀形狀的好壞，達到直觀判斷的目的，成為確定是否改進設(shè)計的一個依據(jù)。

在內(nèi)齒圈齒廓的數(shù)控加工中，通過對刀具中心軌跡的計算便得到了數(shù)控加工所需的數(shù)據(jù)，為了確保計算所得到的數(shù)據(jù)能加工出合格的零件，避免以往反復試切的工序，只需用計算機進行數(shù)控加工仿真。數(shù)控加工仿真就是把零件模型，刀具外形、刀具中心軌跡在屏幕上顯示出來，模擬數(shù)控的動態(tài)加工過程。通過數(shù)控加工仿真，可檢查刀具中心軌跡是否正確，加工過程是否有過切現(xiàn)象，是否有干涉及碰撞，進退刀具是否合理等。

5.6.2動態(tài)圖形仿真的主要實現(xiàn)技術(shù)

動態(tài)圖形仿真是指屏幕上顯示出來的畫面或其中的一部分，能按一定的規(guī)則及要求在屏幕上移動或變化，從而使計算機屏幕上顯示出來的圖象或圖形為動態(tài)變化的技術(shù)。進行動態(tài)圖形仿真的方法很多，最常用的有兩種，即實時動畫和幀動畫。

實時動畫是在動畫開始時繪制圖象，對計算機運算速度和數(shù)據(jù)處理能力要求很高，如果計算機處理速度跟不上，效果很差。而幀動畫則是先把每一幅圖形提前完成并存貯起來，然后再連續(xù)地顯示它，達到動畫的目的，這種方法可產(chǎn)生較好的動畫效果，但需要大容量的存貯器。
在本系統(tǒng)中，數(shù)控加工仿真采用的是實時動畫技術(shù)，這是因為內(nèi)齒圈齒廓曲線實際上是一條平面曲線，數(shù)控加工仿真可用一個平面圖形完成，其動態(tài)仿真可失得良好效果。而對于機構(gòu)運動仿真及零部件裝配仿真使用的是幀動畫技術(shù)，因為它們是平面復雜圖形或三維圖形，機構(gòu)運轉(zhuǎn)狀態(tài)的任一微小變化都必須經(jīng)過大量的計算，生成一幅圖形需要較長時間，為了達到動畫的目的，就必須采用幀動畫，預先把處理好的圖形存貯起來，仿真時連續(xù)不斷地調(diào)用它。在調(diào)用的過程中，所要處理的圖形信息量也很大，要達到良好的視覺效果，必須采用快速的算法和傳送數(shù)據(jù)的快速途徑。
為了在微型計算機上達到滿意的動態(tài)模擬效果，系統(tǒng)中采用了如下幾種措旋：

（1）利用系統(tǒng)內(nèi)存來存貯圖形，內(nèi)存數(shù)據(jù)的處理品比其它介質(zhì)快得多。把存貯在磁盤文件上的圖形數(shù)據(jù)讀到內(nèi)存中指定的位置，以供顯示時調(diào)用。

（2）用C語言直接調(diào)用AT2000圖形卡作圖源語，并用匯編語言實現(xiàn)數(shù)據(jù)的傳送，由于匯編語言程序的執(zhí)行代碼簡單，運行速度快，從而增強了動態(tài)效果。

（3）控制圖象的數(shù)據(jù)格式，將一些反復用到的格式數(shù)據(jù)放在圖形數(shù)據(jù)的前面，節(jié)省了檢索和計算的時間。

通過以上措施，使本系統(tǒng)的動態(tài)仿真獲得了較為滿意的效果。